In fisica, l’entropia di Tsallis è una generalizzazione della formula di Boltzmann-Gibbs per il calcolo dell'entropia.
Panoramica Il fisico teorico Costantino Tsallis elaborò nel 1988C. Tsallis, Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics , in Journal of Statistical Physics, volume 52, pagg. 479–487, 1988, doi = 10.1007/BF01016429 questo concetto come base per generalizzare la meccanica statistica standard, ed è identica dal punto di vista formale alla α-entropia strutturale di Havrda–CharvátJ. Havrda, F. Charvát, Quantification method of classification processes. Concept of structural α-entropy, in Kybernetika, volume 3 issue = 1 pagg. 30–35, 1967S. Da Silva, P. Rathie, Shannon, Lévy, and Tsallis: A Note, in Applied Mathematical Sciences, volume 2 issue 8 pagg. 1359–1363, anno 2008, introdotta nel 1967 nell'ambito della Teoria dell'Informazione. L'importanza dell'entropia di Tsallis in fisica è stata largamente dibattuta dalla letteratura scientifica. A. Cho, A Fresh Take on Disorder, Or Disorderly Science?, in Science, volume = 297 issue = 5585 pagg. 1268–1269, anno 2002, doi = 10.1126/science.297.5585.1268S. Abe, A.K. Rajagopal, Revisiting Disorder and Tsallis Statistics, in Science, volume = 300 issue = 5617 pagg. 249–251, anno 2003, doi = 10.1126/science.300.5617.249dS. Pressé, K. Ghosh, J. Lee, K. Dill, Nonadditive Entropies Yield Probability Distributions with Biases not Warranted by the Data, in Phys. Rev. Lett., volume = 111 issue = 18 pagg. 180604, anno 2013, doi = 10.1103/PhysRevLett.111.180604, bibcode=2013PhRvL.111r0604P, pmid=24237501, arxiv = 1312.1186.
Tuttavia, a partire dal 2000, è stato identificato un sempre più ampio spettro di sistemi complessi naturali, artificiali e sociali che confermano i fatti sperimentali previsti e le conseguenze teoriche dedotte da questo tipo di entropia non-additiva, come la meccanica statistica non-estensiva, che riesce a generalizzare la teoria di Boltzmann-Gibbs.
Definizione Dato un insieme discreto di probabilità dove vale che , e dato un numero reale qualsiasi , si definisce entropia di Tsallis:
dove è un numero reale chiamato indice entropico.
Con il limite per , ritroviamo la più nota entropia di Boltzmann–Gibbs, vale a dire:
Invece, per le distribuzioni di probabilità continue, l'entropia di Tsallis è definita come:
dover è la Funzione di densità di probabilità. L'entropia di Tsallis è stata usata per derivare le proprietà della distribuzione di probabilità di Tsallis, attraverso il Principio della Massima Entropia.
Relazioni L'entropia discreta di Tsallis soddisfa
dove Dq è la q-derivata rispetto a x. Può essere confronata con la formula dell'entropia standard:
Non-additività Dati due sistemi A and B, per i quali la funzione di densità di probabilità congiunta soddisfa
,
allora, l'entropia di Tsallis per questo sistema soddisfa
dove è evidente che il parametro è una misura di quanto non è additiva. Nel caso limite di q = 1, diventa
che è quanto ci si attende per un sistema additivo. Per questo motivo, tale proprietà è a volte chiamata pseudo-additività.
Famiglie di esponenziali Molte comuni distribuzioni di probabilità, ad esempio la distribuzione normale, conducono alle famiglie di esponenziali. L'entropia di Tsallis per una famiglia esponenziale può essere scritta F. Nielsen, R. Nock, A closed-form expression for the Sharma–Mittal entropy of exponential families, in Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, volume 45 issue 3 pagg. 032003, anno 2012, arxiv = 1112.4221, bibcode = 2012JPhA...45c2003N come:
dove F è un log-normalizzatore e k il termine che indica la misura del carrier.
Per la Distribuzione normale multivariata, k è uguale zero, e perciò l'entropia di Tsallis diventa una espressione matematica in forma chiusa (valutabile in un numero finito di operazioni).
Ulteriori generalizzazioni Esiste un certo numero di sistemi fisici di rilievoV. García-Morales , K. Krischer, Superstatistics in nanoscale electrochemical systems, in PNAS, volume=108 issue=49 pagg. 19535–19539, anno 2011, doi=10.1073/pnas.1109844108 |bibcode=2011PNAS..10819535G, pmid=22106266, pmc=3241754 che afferiscono ai funzionali, che riescono a generalizzare ulteriormente l'entropia di Tsallis. I due più importanti sono: la Superstatistica introdotta da C. Beck ed E. G. D. Cohen nel 2003 Cohen , Beck, Superstatistics, in Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, volume=322 pagg.267, anno 2003,doi=10.1016/S0378-4371(03)00019-0, arxiv=cond-mat/0205097, bibcode=2003PhyA..322..267B e la Statistica Spettrale, introdotta da G. A. Tsekouras e Constantino Tsallis nel 2005.Tsekouras, Tsallis, Generalized entropy arising from a distribution of q indices, in Physical Review E, volume=71 issue=4, anno 2005, doi=10.1103/PhysRevE.71.046144 |arxiv=cond-mat/0412329, bibcode=2005PhRvE..71d6144T L'entropia di Tsallis e l'entropia di Boltzmann-Gibbs possono essere ottenute come casi particolari, da entrambe queste due entropie. È stato dimostrato, inoltre, che dalla Statistica Spettrale si può ricavare la formula della Superstatica, cosa che lascia ipotizzare che la prima possa contenere e spiegare ulteriori casi e fenomeni.
Note
Bibliografia Shigeru Furuichi, Flavia-Corina Mitroi-Symeonidis, Eleutherius Symeonidis, On some properties of Tsallis hypoentropies and hypodivergences, in Entropy, 16(10) (2014), 5377-5399; Shigeru Furuichi, Flavia-Corina Mitroi, Mathematical inequalities for some divergences, in Physica A 391 (2012), pp. 388–400, ; Shigeru Furuichi, Nicușor Minculete, Flavia-Corina Mitroi, Some inequalities on generalized entropies, J. Inequal. Appl., 2012, 2012:226.
Collegamenti esterni
Tomasz Maszczyk, Wlodzislaw Duch, Comparison of Shannon, Renyi and Tsallis Entropy used in Decision Trees, in Lecture Note in Computer Science, Vol. 5097 pagg. 643-651, anno 2008, Department of Informatics, Nicolaus Copernicus University, University Grudzi¸adzka 5, 87-100 Toru´n, Poland .
Categoria:Meccanica statistica