In matematica, in particolare nella teoria delle categorie, l'aggiunzione è una possibile relazione tra due funtori.
L'aggiunzione è molto frequente in matematica. Una coppia di funtori aggiunti da C a D e da D a C è quanto serve affinché le due categorie C e D siano compatibili nei loro oggetti e morfismi. Per esempio, un funtore potrebbe immergere C nella sua estensione D, e l'altro funtore potrebbe restringere nuovamente D in C. Per questo genere di relazioni, l'aggiunzione formalizza i concetti intuitivi di ottimizzazione ed efficienza.
Nella più concisa definizione simmetrica, un'aggiunzione tra due categorie C e D è una coppia di funtori, and e una famiglia di biiezioni
che è naturale per tutte le variabili X in C e Y in D. Il funtore F è chiamato aggiunto sinistro, mentre G è chiamato aggiunto destro. La relazione "F è aggiunto sinistro a G", o equivalentemente "G è aggiunto destro a F", si denota anche con
Questa e altre definizioni saranno approfondite nel seguito.
Introduzione
La lunga lista di esempi in questo articolo è solo una parziale indicazione di quanto spesso una costruzione matematica di interesse sia un funtore aggiunto. Di conseguenza, i teoremi generali sui funtori aggiunti, come l'equivalenza delle loro varie definizioni o il fatto che essi preservino rispettivamente i limiti (aggiunto destro) e i colimiti (aggiunto sinistro), limiti e colimiti che pure si trovano in ogni area della matematica, può codificare i dettagli di molti risultati utili e altrimenti non banali.
Motivazioni
Soluzioni di problemi di ottimizzazione Si può dire che un funtore aggiunto è un modo di dare la soluzione "più efficiente" a un qualche problema tramite un metodo "basato su formule". Per esempio, un problema elementare nella teoria degli anelli è come trasformare un anello in un anello unitario. Il modo "più efficiente" è aggiungere un elemento '1' all'anello, aggiungere tutti (e soli) gli elementi che sono necessari per soddisfare gli assiomi (per esempio r+1 per ogni r nell'anello), e non imporre nel nuovo anello unitario alcuna relazione che non sia forzata dagli assiomi. Inoltre, questa costruzione è "basata su formule" nel senso che agisce essenzialmente allo stesso modo per ogni anello.
Questo è piuttosto vago, benché suggestivo, e può essere reso preciso nel linguaggio della teoria delle categorie: una costruzione è "la più efficiente" se soddisfa una proprietà universale, ed è basata su formule se definisce un funtore. Le proprietà universali si presentano in due forme: proprietà iniziali e proprietà terminali. Poiché queste sono nozioni duali, è sufficiente discuterne una.
L'idea alla base dell'uso di una proprietà iniziale è porre il problema in termini di una qualche categoria ausiliaria E, e quindi osservare che quello che si desidera è trovare un oggetto iniziale di E. Questo ha il vantaggio che l'ottimizzazione—nel senso che stiamo cercando la soluzione più efficiente— è qualcosa di rigoroso e riconoscibile, piuttosto che la ricerca di un estremo. La categoria E è pure basata su formule in questa costruzione, dal momento che è sempre la categoria degli elementi del funtore a cui si sta costruendo un aggiunto. Di fatto, quest'ulteriore categoria è precisamente la categoria comma category sul funtore in questione.
Per esempio, sia dato l'anello R, e si costruisca una categoria E i cui oggetti sono omomorfismi d'anello R → S, con S un anello unitario. I morfismi in E tra R → S1 e R → S2 sono triangoli commutativi della forma (R → S1, R → S2, S1 → S2) dove S1 → S2 è una mappa di anelli (che preserva l'identità). Si noti che questa è precisamente la definizione di comma category di R sull'inclusione di anelli unitari in anelli. L'esistenza di un morfismo tra R → S1 e R → S2 implica che S1 è una soluzione almeno altrettanto efficiente di S2 per il nostro problema: S2 può avere più elementi aggiunti e/o più relazioni non forzate dagli assiomi che S1. Perciò, l'asserzione che un oggetto R → R* è iniziale in E, o in altri termini che esiste un morfismo da esso a ogni altro elemento di E, significa che l'anello R* è la soluzione più efficiente al nostro problema.
I due fatti, che questo modo di trasformare gli anelli in anelli unitari è il più efficiente e basato su formule, possono essere espressi simultaneamente dicendo che ciò definisce un funtore aggiunto.
Un modo di vedere cosa si ottiene dall'uso di una formulazione piuttosto che un'altra è provare un metodo diretto. Semplicemente si aggiunga a R un nuovo elemento 1, e si calcoli sulla base del fatto che ogni equazione risultante è valida se e solo se vale per ogni anello che possiamo costruire da R e 1. questo è un metodo impredicativo: vale a dire che l'anello che si sta cercando di costruire è uno degli anelli quantificati nel 'tutti gli anelli'.
Più esplicitamente: F denoti il suddetto procedimento di aggiungere un'identità a un anello non unitario, cosicché F(R)=R*. G denoti il procedimento di 'dimenticare' se un anello unitario S ha un'identità e come un semplice anello non unitario, cioè essenzialmente G(S)=S. Se comprendiamo la definizione di funtori aggiunti tramite proprietà universali, allora dire che F è il funtore aggiunto sinistro di G sarà un modo preciso di dire che F è la più efficiente soluzione al nostro problema (ed è basata su formule).
Simmetria di problemi di ottimizzazione
Continuando questa trattazione, si supponga di essere partiti con il funtore F, e di essersi posti la seguente (vaga) domanda: esiste un problema di cui F è la soluzione più efficiente?
La nozione che F è la soluzione più efficiente al problema posto da G è, in un certo senso rigoroso, equivalente alla nozione che G pone il più difficile problema che viene risolto da F.
Questo ha il significato intuitivo che i funtori aggiunti si dovrebbero presentare a coppie, e infatti ciò avviene, ma questo non è banale a partire dalle definizioni di morfismo universale. Le definizioni simmetriche equivalenti, coinvolgenti le aggiunzioni e il linguaggio simmetrico di funtori aggiunti (possiamo dire sia che F è aggiunto sinistro di G sia che G è aggiunto sinistro di F), hanno il vantaggio di rendere questo fatto esplicito.
Definizioni formali
Ci sono varie definizioni per i funtori aggiunti. La loro equivalenza è elementare, ma per niente banale e di fatto molto utile. Questo articolo fornisce varie di queste definizioni:
Le definizioni via morfismi universali sono facili da dichiarare e richiedono verifiche minime quando costruiscono un funtore aggiunto o dimostrano che due funtori sono aggiunti. Sono anche le più vicine alla nostra intuizione nel coinvolgere le ottimizzazioni. La definizione via aggiunzione counità-unità è vantaggiosa per dimostrazioni su funtori che si sanno essere aggiunti, poiché forniscono formule che possono essere manipolate in modo diretto. La definizione via Hom-Set rende le simmetrie il più evidenti possibile, ed è la ragione per cui si usa la parola "aggiunto".
I funtori aggiunti si trovano in ogni area della matematica. La loro utilità risiede nel fatto che le strutture in ciascuna di queste definizioni dà origine alle strutture nelle altre tramite una serie di deduzioni lunga ma banale. Perciò, passare dall'una all'altra di queste fa uso implicito di una grande quantità di dettagli che altrimenti avrebbero dovuto essere ripetuti separatamente in ogni diverso ambito. Per esempio, la naturalità e la terminalità della counità possono essere usate per dimostrare che ciascun funtore aggiunto destro preserva i limiti.
Convenzioni
La teoria degli aggiunti ha i termini "sinistro" e "destro" fin dalle origini, e ci sono molte componenti che si trovano in una delle due categorie "C" e "D" che sono considerate. Perciò può essere d'aiuto scegliere lettere in ordine alfabetico secondo che esse si trovino nella categoria "sinistra" "C" o nella categoria "destra" "D", e inoltre scriverle in quest'ordine quando possibile.
In questa pagina, per esempio, le lettere "X", "F", "f", "ε" denoteranno enti che si trovano nella categoria "C", mentre le lettere "Y", "G", "g", "η" denoteranno enti che si trovano nella categoria "D", e quando possibile questo genere di enti saranno indicati in ordine da sinistra a destra (un funtore "F": "D" → "C" può essere pensato come se "vivesse" dove si trovano, cioè in "C".
Morfismi universali
Un funtore F : D → C è un funtore aggiunto sinistro se per ogni oggetto X in C, esiste un morfismo terminale da F a X. Se, per ogni oggetto X in C, si sceglie un oggetto G0X di D per cui esiste un morfismo terminale εX : F(G0X) → X da F a X, allora esiste un solo funtore G : C → D tale che GX = G0X e εXʹ ∘ FG(f) = f ∘ εX per f : X → Xʹ un morfismo in C; F è quindi chiamato aggiunto sinistro a G.
Un funtore G : C → D è un funtore aggiunto destro se per ogni oggetto Y in D, esiste un morfismo iniziale da Y a G. Se, per ogni oggetto Y in D, si sceglie un oggetto F0Y di C e un morfismo iniziale ηY : Y → G(F0Y) da Y a G, allora esiste un solo funtore F : D → C tale che FY = F0Y e GF(g) ∘ ηY = ηYʹ ∘ g per g : Y → Yʹ un morfismo in D; G è dunque chiamato aggiunto destro a F.
È vero, come suggerisce la terminologia, che F è aggiunto sinistro a G se e solo se G è aggiunto destro a F. Questo risulta evidente dalle definizioni simmetriche date sotto. Le definizioni via morfismi universali sono spesso utili per stabilire che un funtore dato è aggiunto sinistro o destro, poiché sono minimali nelle loro richieste. Sono inoltre ricche di significato intuitivo nel fatto che trovare un morfismo universale è analogo a risolvere un problema di ottimizzazione.
Aggiunzione counità-counità
Un aggiunzione con counità-unità tra due categorie C e D consiste in due funtori F : D → C e G : C → D e in due trasformazioni naturali
chiamate rispettivamente counità e unità dell'aggiunzione (terminologia dall'algebra universale), tali che le composizioni
siano le trasformazioni identiche rispettivamente 1F su F e 1G su G.
In questa situazione si dice che F è aggiunto sinistro a G e G è aggiunto destro a F , e questa relazione si può indicare con , o semplicemente .
In forma equazionale, le precedenti condizioni su (ε,η) sono le equazioni counità-unità
il che significa che per ogni X in C e per ogni Y in D, .
Si osservi che qui denota funtori identici, mentre in precedenza il medesimo simbolo denotava trasformazioni naturali identiche.
Queste equazioni sono utili nel ricondurre dimostrazioni sui funtori aggiunti a manipolazioni algebriche. Sono talvolta chiamate equazioni a zig-zag a causa della comparsa dei [diagramma a stringa|diagrammi a stringa] corrispondenti. Un modo per ricordarle è scrivere per prima cosa l'equazione priva di significato e quindi completarla con F e G in uno dei due semplici modi che definiscono la composizione.
Nota: L'uso del prefisso "co" in counità qui non è coerente con la terminologia dei limiti e colimiti, poiché i colimiti soddisfano una proprietà iniziale mentre i morfismi counità soddisfano proprietà terminale, e analogamente in dualità. Il termine unità qui è mutuato dalla teoria delle monadi dove assomiglia all'inserzione dell'identità 1 in un monoide.
Aggiunzione Hom-Set
Un'aggiunzione Hom-Set tra due categorie C e D consiste in due funtori F : D → C e e un isomorfismo naturale . Questo definisce una famiglia di biiezioni
per tutti gli oggetti X in C e Y in D.
In questa situazione si dice che F è aggiunta sinistro a G e G è aggiunto destro a F , e questa relazione si può indicare scrivendo , o semplicemente .
Questa definizione è un logico compromesso nel senso che è in un certo senso più difficile da soddisfare rispetto alle definizioni con morfismi universali, e ha meno implicazioni immediate rispetto alla definizione counità-unità. È utile grazie alla sua ovvia simmetrica, ed è un punto di partenza per le altre definizioni.