Il calcolo frazionario è una branca dell'analisi matematica che studia le diverse possibilità di definire una potenza reale o complessa dell'operatore derivata
,
e dell'operatore integrale
,Comunemente viene usato il simbolo al posto dell'intuitivo per evitare confusione con altri concetti indicati con la stessa lettera, come i glifi o le identità.
e sviluppare un calcolo infinitesimale per questi operatori, generalizzando quelli classici.
In questo contesto, il termine potenza si riferisce all'applicazione iterata di un operatore lineare a una funzione, in analogia alla composizione di funzioni nel caso a una variabile, cioè .
Per esempio, ci si potrebbe chiedere se interpretare
come l'analogo della radice quadrata funzionale per un operatore differenziale, cioè un certo operatore lineare che quando applicato due volte a qualsiasi funzione ha lo stesso effetto della derivata. Più in generale, ci si potrebbe chiedere di definire un funzionale lineare
per ogni numero reale in modo tale che, quando assume un valore intero , coincide con la usuale derivata -esima se o con la -esima potenza di se .
Una delle motivazioni dietro l'introduzione e lo studio di questa estensione dell'operatore derivata è che gli insiemi delle potenze definite in questo modo sono semigruppi continui con parametro , di cui l'originale semigruppo discreto di è un sottogruppo numerabile: poiché i semigruppi continui hanno una teoria matematica ben sviluppata, è interessante applicarli ad altre branche della matematica.
Le equazioni differenziali frazionarie, anche conosciute come equazioni differenziali straordinarie, sono una generalizzazione delle equazioni differenziali attraverso l'applicazione del calcolo frazionario.
Storia Nella matematica applicata e nell'analisi matematica, la derivata frazionaria è una derivata di ordine arbitrario, reale o complesso. La prima apparizione del concetto di derivata frazionaria si trova in una lettera scritta a Guillaume de l'Hôpital da Gottfried Wilhelm Leibniz nel 1695. Le fondamenta di questa teoria furono create da Liouville in un saggio del 1832.Joseph Liouville, "Mémoire sur quelques questions de géométrie et de mécanique, et sur un nouveau genre de calcul pour résoudre ces questions", Journal de l'École polytechnique, vol. 13, sezione 21, (1832), pp. 1-69.Joseph Liouville, "Mémoire sur le calcul des différentielles à indices quelconques", Journal de l'École polytechnique, vol. 13, sezione 21, (1832), pp. 71-162.Per la storia del calcolo frazionario, vedere la tesi (in francese): Stéphane Dugowson, Les différentielles métaphysiques (histoire et philosophie de la généralisation de l'ordre de dérivation), Thèse, Université Paris Nord (1994)
Natura della derivata frazionaria La derivata di una funzione in un punto è una proprietà locale solo quando è un intero; non è questo il caso per derivate non intere. In altre parole, non è corretto dire che la derivata frazionaria in di una funzione dipende dai valori di vicino a , nel modo in cui fanno certamente le derivate intere. Dunque, ci si aspetta che una tale teoria coinvolga qualche sorta di condizioni al contorno, interessandosi anche al comportamento lontano della funzione.
La derivata frazionaria di ordine di una funzione è spesso definita per mezzo della trasformata di Fourier o di Mellin.
Euristica Una naturale domanda è chiedersi se esiste un operatore lineare , o derivata mezza, tale che .
Risulta poi che questo operatore esiste e che in realtà per ogni c'è un operatore tale che
In altre parole, la definizione di può essere estesa a tutti i valori reali di .
Sia una funzione definita solo per . Si indica con l'integrale definito da a con
.
Iterando questo procedimento si ha
che può essere esteso arbitrariamente.
La formula di Cauchy per integrazioni ripetute, ossia
porta in maniera chiara alla generalizzazione per reale.
Usando la funzione Gamma per rimuovere la natura discreta del fattoriale, si ottiene un naturale candidato per l'applicazione frazionaria dell'operatore integrale.
Infatti questo è un operatore ben definito.
È facile da mostrare che l'operatore soddisfa
Questa relazione è detta proprietà di semigruppo dell'operatore frazionario differintegrale. Sfortunatamente il procedimento analogo per l'operatore derivata è decisamente più complesso, ma si può mostrare che in generale non è né commutativo né additivo.
Derivata frazionaria di una potenza
Si assuma che è un monomio della forma
La derivata prima è semplicemente
Ripetendo la derivazione si ottiene il risultato generale
che, dopo aver sostituito i fattoriali con la funzione Gamma, porta a
Per e , si ottiene che la derivata mezza della funzione è
Per dimostrare che si tratta della "derivata mezza" (cioè ), si ripete il procedimento per avere:
(poiché e )
che è infatti il risultato aspettato
Per potenze con intero negativo, la funzione Gamma non è definita e si deve usare la seguente relazione:
Non c'è bisogno che questa estensione dell'operatore derivata sia vincolata solo ai numeri reali. Per esempio, la derivata -esima della derivata -esima produce l'usuale derivata seconda. Valori negativi di danno luogo all'operatore integrale.
Per una funzione generale e , la derivata frazionaria completa è
Per un arbitrario, poiché la funzione Gamma non è definita nei numeri interi negativi, è necessario applicare la derivata frazionaria dopo aver svolto la derivata intera. Per esempio,
Trasformata di Laplace Si può giungere alla definizione anche attraverso la trasformata di Laplace. Sapendo che
e
etc., si afferma che
.
Per esempio,
come atteso. Infatti, data la regola di convoluzione,
e abbreviando per chiarezza, si trova che
che è esattamente uguale a quello ottenuto dalla formula di Cauchy.
La trasformata di Laplace "funziona" relativamente su poche funzioni, ma sono spesso utili per risolvere equazioni differenziali frazionarie.
Integrali frazionari Integrale frazionario di Riemann–Liouville La classica forma del calcolo frazionario è dato dall'integrale di Riemann–Liouville, che è essenzialmente quello descritto precedentemente. Per le funzioni periodiche, dunque includendo anche la 'condizione di contorno' di ripetersi dopo un periodo, la teoria utilizza l'integrale di Weyl. Quest'ultimo è definito sulle serie di Fourier e richiede che il coefficiente costante di Fourier si annulli; quindi si applica alle funzioni sul cerchio unitario il cui valore dell'integrale è 0.
Al contrario la derivata di Grünwald–Letnikov inizia con la derivata invece dell'integrale.
Integrale frazionario di Hadamard L'integrale frazionario di Hadamard, introdotto da J. Hadamard,Hadamard, J., Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor, Journal of pure and applied mathematics, vol. 4, no. 8, pp. 101–186, 1892. è dato dalla seguente formula,
Integrale frazionario di Atangana–Baleanu Recentemente, usando la funzione di Mittag-Leffler generalizzata, Atangana e Baleanu suggerirono una nuova formulazione della derivata frazionaria con Kernel non locali e non singolari, così da costruire il seguente operatore integrale frazionario:
dove è una funzione di normalizzazione tale che .Badr Saad T. Alkahtani, " Chua's circuit model with Atangana–Baleanu derivative with fractional order Chaos, Solitons & Fractals", Volume 89, Agosto 2016, Pagine 547–551Obaid Jefain Julaighim Algahtani. Comparing the Atangana–Baleanu and Caputo–Fabrizio derivative with fractional order: Allen Cahn model. Chaos, Solitons & Fractals, Volume 89, Agosto 2016, Pagine 552–559.
Derivate frazionarie Diversamente dalle derivate classiche di Newton, la derivata frazionaria è definita attraverso un integrale frazionario.
Derivata frazionaria di Riemann–Liouville La corrispondente derivata è calcolata utilizzando la regola di Lagrange per gli operatori differenziali. Calcolando la derivata -esima dell'integrale di ordine , si ottiene la derivata -esima, dove è l'intero più vicino maggiore di (cioè, ).
Derivata frazionaria di Caputo C'è un'altra opzione per calcolare le derivata frazionarie di una funzione: la derivata frazionaria di Caputo. Fu introdotta da M. Caputo nel suo articolo del 1967.. Al contrario della derivata di Riemann-Liouville, quando si risolvono delle equazioni differenziali usando la definizione di Caputo, non è necessario definire le condizioni iniziali dell'ordine frazionario. La derivata di Caputo è definita come segue.
Derivata di Caputo-Fabrizio In un lavoro del 2015 di M. Caputo e M. Fabrizio è stata proposta una nuova definizione di derivata frazionaria che ha un nucleo non singolare, definita per una funzione di classe :
dove .
Questa derivata però, così come la derivata di Atangana-Baleanu e tutte le derivate ottenute sostituendo al nucleo debolmente singolare della derivata di Caputo un nucleo non singolare (in questo caso ) presenta un grosso limite che la rende di fatto inutilizzabile. Infatti è facile dimostrare che e pertanto quando è utilizzata in una equazione differenziale del tipo è necessario che la condizione iniziale sia scelta in modo tale che anche . Questo tipo di condizione appare estremamente restrittiva in quanto è l'operatore utilizzato a determinare il dato iniziale, una condizione che fisicamente non ha alcun senso e che in ogni caso impone condizioni estremamente restrittive.
Va anche detto che pur quando tale restrittiva condizione sia verificata, l'equazione differenziale potrà essere riscritta come
dimostrando non solo che la derivata di Caputo-Fabrizio è in realtà una derivata intera, ma che è anche inutile in quanto rappresenta fenomeni descrivibili mediante classiche equazioni differenziali di ordine intero.
Il ragionamento sopra esposto ha un grosso limite. Infatti, in assenza di una definizione condivisa di derivata frazionaria e quindi delle sue proprietà, non possiamo avere l’arbitrio di introdurre particolari condizioni per stabilire quali, fra gli operatori differenziali, possano essere definiti come derivate frazionarie e quali no. Per cui non si possono fare affermazioni o esempi dove l’operatore frazionario, in esame, non verifica certe condizioni e quindi non possa essere definito come frazionario o derivata frazionaria. Infine non si può contestare la definizione di C-F derivata frazionaria, osservando che per una molto particolare equazione differenziale è necessario avere opportune condizioni iniziali. Il concetto di operatore differenziale frazionario deve essere ampio e quindi non deve essere associato o condizionato a particolari restrizioni che non siano connesse ad un vasto ed universale concetto di operatore frazionario.
Derivata di Atangana–Baleanu C'è un'ulteriore variante della definizione di derivata frazionaria, basata sull'uso della funzione di Mittag-Leffler generalizzata come Kernel. Questa nuova versione fu introdotta da Abdon Atangana e Dumitru Baleanu nel 2016 nel loro lavoro. Gli autori hanno introdotto due versioni: una è Atangana–Baleanu nel senso di Caputo (ABC) che è la convoluzione della derivata locale di una funzione con la funzione di Mittag-Leffler generalizzata; la seconda versione è chiamata derivata frazionaria di Atangana–Baleanu nel senso di Riemann–Liouville (ABR) ed è la derivata della convoluzione di una data funzione non necessariamente derivabile con la funzione di Mittag-Leffler generalizzata. La derivata frazionaria di Atangana–Baleanu nel senso di Caputo è la seguente.
E la derivata frazionaria di Atangana–Baleanu nel senso di Riemann–Liouville è definita come:
In particolare, questa variante di derivata frazionaria ha portato nuovi strumenti alla matematica applicata per modellizzare sempre più precisamente problemi complessi.