In matematica, il lemma di Yoneda è un risultato fondamentale nella teoria delle categorie. Nella sua forma più debole afferma che ogni categoria può essere considerata come una sottocategoria dei funtori contravarianti da essa alla categoria degli insiemi.
Definizioni Sia una categoria, e sia la categoria degli insiemi. La categoria di prefasci su a valori in è la categoria di funtori contravarianti da agli insiemi. Dati due funtori l'insieme di morfismi da a è l'insieme di trasformazioni naturali da a .
Fissato un oggetto , di particolare rilievo è il funtore
che mappa un oggetto all'insieme . Per ogni morfismo il funtore associa un morfismo al morfismo dato da .
Enunciato Il lemma di Yoneda asserisce il fatto seguente:
Vi è una corrispondenza biunivoca .
Un caso particolare è quello dove ; in tal caso, il lemma di Yoneda afferma che la categoria è una sottocategoria di tramite il funtore .
Dimostrazione La dimostrazione del lemma di Yoneda è contenuta nel seguente diagramma commutativo:
Note
Categoria:Teoria delle categorie Yoneda