Era addetto alla Biblioteca Ambrosiana e godeva della stima del cardinale Federico Borromeo. Urbano VIII lo chiamò alla Biblioteca apostolica vaticana, ma Giggei morì a Milano nel 1632, poco prima di partire per Roma. Lo stesso era uscita la sua grande opera Thesaurus linguae arabicae (Milano 1632, voll. 4 in-fol.), che è la traduzione del famoso dizionario al-Qāmūs di Fairuzabadi, del quale conserva il disordine nella disposizione delle voci entro ciascuna radice, mentre le radici sono ordinate secondo l'uso europeo. Alla sua diffusione nocquero la mole e le numerose imperfezioni. Lasciò inedito un grande dizionario persiano-latino.
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