Il modello di equilibrio economico generale di von Neumann è una teoria espressa da John von Neumann, nell'inverno del 1932, durante un seminario matematico dell'università di Princeton. La dissertazione rimase nel cassetto sino al 1937 quando su invito di Karl Menger lo scritto venne pubblicato in tedesco con il titolo: "Ueber ein Oekonomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes",Ergebnisse Math. Kolloquiums, n.8, 1937 ed edito dallo stesso Karl Menger. Nel 1944 il lavoro fu tradotto da G. Morton in lingua inglese e pubblicato dalla "Review of Economic Studies", n.1/1944. La traduzione italiana della versione inglese fece la sua comparsa in "L'Industria", n.1 nel 1952 con il titolo "Un modello di equilibrio economico generale".
L'analisi condotta da von Neumann è di carattere dinamico in quanto prende in considerazione il tempo, studia le quantità prodotte e le reazioni di prezzo, infine l’analisi è di tipo multi-periodo e multisettoriale.
Nel modello di economia in espansione i fattori di produzione (input dei processi di produzione) si presentano come beni realizzati da altri processi di produzione (output dei processi di produzione). L’espansione o la contrazione dell’economia viene indicata da un coefficiente di espansione > 0 atto ad indicare la crescita o decrescita dei quantitativi dei beni prodotti in un tempo discreto . L’aspetto finanziario del modello viene caratterizzato da un coefficiente di rendimento > 0 che indica il rendimento finanziario dell’economia pensato come rapporto tra il capitale ricevuto al termine dell’intervallo di tempo ed il capitale investito all’inizio del periodo .
Von Neumann dimostra che all'equilibrio, cioè in una condizione dell’economia tale da soddisfare le disequazioni vincolari da lui specificate per definire l’equilibrio, il problema di determinare e ammette una ed una sola soluzione e questa vale =; dunque all’equilibrio il coefficiente di espansione eguaglia il coefficiente di rendimento. Il costo totale sostenuto per l’investimento negli input da impiegare è cioè coperto e coincide con il tasso d’incremento dei beni domandati: questo fatto corrisponde intuitivamente alla condizione di profitto nullo, ossia i processi effettivamente operati generano un profitto pari a zero.
Il modello di von Neumann determina altresì quali prezzi dei beni si affermano e quali processi e con quale intensità operano. Se dovessero esserci processi che operano in perdita finanziaria allora il modello prevede che questi non verranno eseguiti. D’altra parte i processi in grado di crescere nel periodo ad un tasso superiore ad produrranno un’eccedenza di tali beni rispetto al quantitativo di input domandato nel periodo successivo per uno sviluppo in equilibrio dell’economia: l’offerta in eccesso di queste merci (beni liberi) ne determina dunque un prezzo pari a zero.
Il modello afferma che non può esserci alcun coefficiente di crescita sostenibile maggiore del coefficiente di crescita d’equilibrio . L’unicità dei due coefficienti ottimali e può essere illustrata ragionando per assurdo: se fossero disponibili processi alternativi capaci di produrre certi beni ad un tasso di crescita allora il coefficiente di crescita non sarebbe compatibile con l’equilibrio. Gli imprenditori infatti sarebbero attrattati a passare a questi processi più efficienti che garantirebbe loro un profitto rispetto al rendimento pari al tasso di rendita vecchio (=). Il nuovo tasso di rendimento diverrebbe e dunque all’equilibrio la condizione di profitto nullo implicherebbe che i processi obsoleti risulterebbero operativi soltanto in perdita, contro l’ipotesi iniziale che operassero in pareggio.
Il modello matematico di crescita economica di von Neumann Von Neumann ipotizza che beni vengano prodotti da processi produttivi (attività) caratterizzati da rendimenti di scala costanti. I processi produttivi vengono descritti matematicamente come funzioni di produzione lineari. A differenza del modello walrasiano, von Neumann non opera una distinzione tra i fattori naturali di produzione (lavoro, capitale) ed i prodotti (beni finali), bensì ipotizza che i fattori di produzione vengano trasformati in prodotti attraverso m processi di produzione (attività) così come i beni stessi prodotti possano servire da materia prima ad ulteriori processi produttivi: i processi di produzione possono cioè svolgersi in modo circolare nel senso che il bene è realizzato con l’intervento del bene e con l’intervento di . Il termine bene deve dunque essere pensato includere anche i servizi, i vari tipi di lavoro, etc.
La produzione e le matrici di input e output Ciascun processo di produzione/attività viene rappresentato come una combinazione lineare di beni:
dove i coefficienti indicano le unità utilizzate in un periodo di tempo del bene nel processo ed i coefficienti simboleggiano le quantità prodotte del medesimo bene attraverso il processo i-esimo in esecuzione per il periodo . Un tale modello costituisce l’approssimazione di un’economia da un punto di vista generale in cui lavoro e capitali (fattori di produzione) producono “beni” che a loro volta vengono consumati dai consumatori o utilizzati nei processi stessi. Al fine di essere certo che l’economia sia completamente integrata, ossia che non possa venir divisa in sotto-settori non connessi tra loro, von Neumann ipotizza che per la matrice degli input e per la matrice degli output valga la proprietà seguente:
La proprietà caratterizza dunque l’assunto che in ogni processo produttivo i-esimo ciascun bene compaia sempre in una certa quantità positiva o come input (materia prima) o come output (prodotto): le attività economiche sono inter-correlate, connesse e dipendenti l’una dall’altra.
Le intensità di impiego dei processi produttivi Nell’economia reale i diversi processi vengono utilizzati ad una certa intensità rappresentata da un numero reale non negativo per , ossia sono impiegati con diverse scale di produzione. Laddove risulta significa che il processo non viene impiegato poiché economicamente non risulta vantaggioso (i.e. tecnologia inefficiente).
L’ipotesi di omogeneità nelle funzioni di produzione permette di scrivere in quanto .
Viene dunque assunto che in tutti gli processi i rendimenti di scala siano costanti.
La suddivisione del tempo e i tempi di processo Il tempo viene suddiviso in intervalli di tempo discreti di eguale durata. In relazione al periodo di tempo richiesto dai processi von Neumann stabilisce che ciascun processo presenta una durata pari ad un’unità di tempo ; laddove un processo mostri una durata più lunga, questo verrà spezzato in sotto-processi di durata unitaria avendo cura, se necessario, di introdurre come nuovi beni i prodotti intermedi. Pertanto dall'impiego dei fattori produttivi si ottengano i prodotti dovrà trascorrere l'intero periodo . In uneconomia chiusa, in assenza cioè di una domanda finale esterna, i beni prodotti al termine del periodo costituiscono i fattori produttivi disponibili per iniziare un nuovo ciclo produttivo nel periodo successivo. L'output dei processi di un periodo costituiscono gli input del periodo seguente.
Il coefficiente di crescita economica Una volta suddiviso il tempo in periodi di uguale durata unitaria, si indichi con , ..., l’intensità con la quale operano i processi all'inizio del periodo e con , ..., l’intensità con la quale operano i processi nel corso del periodo successivo . Von Neumann suppone che il sistema economico sia in espansione, ossia che la produzione totale del periodo corrente superi i prodotti ottenuti dai processi produttivi nel periodo precedente:
In ogni periodo il quantitativo di beni realizzati è cioè superiore di volte al quantitativo realizzato nel periodo precedente:
da cui segue che si può definire il coefficiente di crescita (o di espansione) per unità di tempo come per ogni i. Poiché i beni realizzati nel periodo precedente costituiscono i fattori impiegati nel periodo corrente chiaramente non risulterà possibile consumare nel periodo una quantità di beni superiore a quanto ne sia stata prodotta al periodo precedente . L’espansione potrà tecnologicamente avvenire solo se le intensità dei processi non richiedono un impiego di quantità maggiori di materie prime/fattori di produzione superiori a quelli disponibili dal periodo precedente.
Periodo precedente
Periodo corrente
Affinché l’economia possa crescere dovrà quindi essere soddisfatta la condizione seguente: ossia per ogni .
Von Neumann limita l'analisi a quelle soluzioni particolari per le quali l'intera economia si espande senza cambiare struttura (crescita bilanciata), vale a dire, l'assortimento dei beni prodotti (mix produttivo) rimane inalterato nel tempo. Indicato con la produzione totale del periodo precedente
e con la produzione totale del periodo corrente,
si introduce il coefficiente di crescita come lo scalare tale che ovvero in termini di produzione totale come:
Il termine crescita bilanciata indica un’economia che cambia scala di produzione, ma non la propria composizione: le reciproche proporzioni con le quali i beni vengono prodotti rimangono costanti. È immediato constatare che porre è equivalente ad affermare che l’assortimento dei beni, il mix produttivo, rimanga uguale in laddove il termine assortimento è da intendersi come una proporzione fissata di un certo tipo di beni prodotti rispetto alla produzione totale.
Ad esempio all’inizio del periodo la proporzione del generico bene j risulta essere
dove rappresenta la quantità totale prodotta del bene j, mentre la produzione totale è .
Al termine del periodo l’assortimento risulterà:
per ogni
A questo punto è sufficiente osservare che una volta posto , si deduce immediatamente che per tutti in quanto .
Von Neumann introduce quindi un tasso di espansione comune a tutte le intensità dei processi .
La condizione su tutte le merci può quindi essere sostituita dalla disequazione matriciale (rule of free good)
dove rappresenta il fattore di crescita comune a tutti i processi. La disequazione matriciale sintetizza la condizione che l’offerta di oggi non può essere inferiore alla domanda di domani .
Il vincolo tecnologico sulla domanda e sull’offerta caratterizza implicitamente un’economia chiusa rappresentata da un sistema economico in cui la produzione soddisfa unicamente la domanda interna senza che possano effettuarsi scambi commerciali da o verso l’esterno del sistema. Tutti i beni consumati nel sistema devono cioè essere prodotti precedentemente dal sistema stesso. Quanto descritto delinea gli aspetti tecnologici del modello, nel seguito l’attenzione verrà rivolta ai suoi aspetti più prettamente finanziari.
Il rendimento economico dei processi produttivi Von Neumann indica con i prezzi degli beni . Laddove risulti un prezzo nullo significa che il bene j-esimo è un bene libero in quanto il quantitativo offerto è superiore a quello domandato. Il rendimento economico (return) di un generico processo di durata è definito come il rapporto tra il capitale ricevuto al termine del periodo stesso ed il capitale investito all’inizio del periodo
Il tasso di rendimento (rate of return) per ogni unità monetaria investita nel processo nell’unità di tempo è definito come
Combinando le due formule si può introdurre il rendimento nell’unità di tempo per il processo come:
La redditività del capitale investito è definita indipendentemente dalla tipologia delle fonti di finanziamento ed il tasso indica il ricavo (remunerazione sia del capitale proprio che di terzi) per ogni euro investito nel processo . Il capitale finale del processo che opera ad un’intensità viene espresso come somma dei ricavi derivanti dalla vendita degli beni prodotti dal processo