Biografia Era figlio dell'omonimo Jozef Kozáček e di sua moglie Alžbeta, nata Pelcová.
Frequentò i ginnasi di Banská Bystrica, Kremnica e Levice. In seguito studiò filosofia a Trnava, teologia a Banská Bystrica, e quindi a Vienna, prima al Pazmaneum, e dal 1833 al 1834 all'Augustineum. Nel 1834 conseguì il titolo di dottore in teologia e divenne cappellano. Prefetto e insegnante, dal 1834 al 1840 fu professore di teologia e di diritto civile ungherese al seminario, dal 1840 al 1844 fu cancelliere e archivista vescovile a Banská Bystrica, dal 1844 al 1849 fu parroco a Dobrá Niva, a Krupina e a Zvolen, nel 1849 fu nominato provveditore agli studi nel distretto di Banská Bystrica e nel 1850 nel distretto di Presburgo, l'odierna Bratislava. Nel 1856 fu nominato canonico a Oradea.
Negli anni 1850 e 1860 fu tra gli esponenti del movimento risorgimentale slovacco, impegnato nel versante culturale, e rappresentante della seconda generazione dei seguaci di Anton Bernolák. Si impegnò per l'introduzione dello slovacco come lingua d'insegnamento in diversi ginnasi.
Fu tra i fondatori della Matica slovenská, di cui fu presidente a partire dal 1870. Fu un mecenate di spicco della culturale nazionale: sostenne la Matica slovenská, gli studenti slovacchi, l'elezione dei candidati nazionali, contribuì in modo significativo alla pubblicazione dei giornali Pešťbudínske vedomosti e Národnie novíny. La stampa ha tenuto discorsi occasionali.
Onorificenze
Opere Slovák urovnoprávněný budešli šťastný?, Banská Bystrica, 1850
Bibliografia Slovenský biografický slovník Elena Matisková, Jozef Kozáček. Výberová personálna bibliografia, Zvolen, 2007, ISBN 978-80-85136-38-8
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