In matematica e in particolare in analisi matematica, il teorema della scatola di flusso è un risultato fondamentale nella teoria dei campi vettoriali ed è di particolare interesse nella teoria dei sistemi dinamici. Tale teorema asserisce che preso un campo vettoriale differenziabile e un qualsiasi punto non singolare del campo, in un intorno sufficientemente piccolo del punto il campo è diffeomorfo a un campo costante.
Teorema
Premesse Sia un dominio aperto di e, detto un intero, sia un campo vettoriale di classe da a
Un punto è singolare per il campo se
Se è un -diffeomorfismo, allora il risultato dell'azione di su detto push-forward di tramite è un campo vettoriale di classe così definito , dove è il differenziale di In questo contesto si dice che il campo è diffeomorfo al campo tramite
Enunciato Sia con un dominio aperto di e un intero, e sia un punto non singolare per . Allora esiste un intorno di e un diffeomorfismo tale che il campo è diffeomorfo tramite al campo costantemente uguale a
Dimostrazione Sia un iperpiano (cioè ) passante per e trasversale a A meno di una trasformazione lineare affine si può supporre che che e che
Per il teorema di Cauchy esiste un intorno di , un intorno di zero e una funzione di classe , unica soluzione in dell'equazione
dove è un qualsiasi punto di e è l'evoluzione al tempo della soluzione con punto iniziale . Allora, identificando con si pone ed è ben definita la funzione , avendo usato la notazione , con e
La matrice jacobiana di in 0 è uguale a
dove è la matrice identità e è la matrice nulla. Quindi, per il teorema della funzione inversa, esiste un intorno dell'origine, , tale che è un -diffeomorfismo. Infine, per ogni , detto si ha
Prendendo la prima e l'ultima espressione di questa catena di uguaglianze e applicando a entrambe si ottiene . Ricordando che il push-forward commuta con l'inversione, si ha che e quindi il diffeomorfismo cercato è
Corollario Sia con un dominio aperto di e un intero, e sia un punto non singolare per . Allora esiste un intorno di e un diffomorfismo che trasforma le soluzioni di in nelle soluzioni di in un opportuno intorno dell'origine. Le soluzioni della seconda equazione sono rette parallele a
Bibliografia
Scatola di flusso Categoria:Calcolo vettoriale Categoria:Topologia differenziale