Il teorema della traccia è un importante risultato di analisi funzionale che permette di definire il restringimento ad un dominio una funzione definita quasi ovunque, per la quale quindi, essendo i bordi del dominio di misura di Lebesgue nulla, non sarebbe è possibile farlo nella maniera classica.
Tale restringimento permette quindi di estendere teoremi che legano i valori di una funzione ai suoi valori sul bordo del dominio di definizione, come ad esempio il teorema di Green-Gauss. Inoltre tale teorema ci permette di formulare una definizione alternativa degli spazi di Sobolev .
Il teorema di seguito riportato chiede per il dominio condizioni più stringenti di regolarità rispetto a quelle strettamente necessarie. Infatti, le condizioni minime sono quelle per l'esistenza di soluzioni delle equazioni di Dirichlet non omogenee.
Definizione di traccia Sia un aperto e limitato e sia , dove abbiamo indicato con lo spazio di Sobolev . Un operatore lineare continuo si dice operatore di traccia se per ogni risulta , , per ogni , dove indica la normale esterna al bordo di .
Teorema Sia aperto limitato di classe , allora esiste un operatore traccia tale che
se , allora , , per ogni , dove indica la normale esterna al bordo di ; l'immagine di è un sottospazio di , più precisamente è ; il nucleo di è lo spazio di Hilbert .
Conseguenze La traccia permettere di estendere il teorema di Green-Gauss a funzioni definite su spazi di Sobolev.
Teorema di Green Sia aperto limitato di classe . Siano e in . Allora, per ogni
dove indica l'-esima componente del versore normale uscente dal bordo di in .
Note
Bibliografia Kesavan, S. Functional analysis and applications. Wiley, 1988.
Voci correlate Spazio di Sobolev Equazioni ellittiche teorema di Green Teorema degli amici e degli sconosciuti Teorema di Josefson-Nissenzweig Teorema di Monsky
Categoria:Teoremi di analisi funzionale