Le sostituzioni di Eulero sono un metodo per calcolare gli integrali della forma
dove è una funzione razionale di e . In tali casi, la funzione integranda può essere trasformata in una funzione razionale mediante le sostituzioni di Eulero.V. Smirnov, Corso di Matematica Superiore vol. I, pp. 479-480, Editori Riuniti University Press (2011).
Prima sostituzione di Eulero La prima sostituzione di Eulero viene utilizzata quando . Si pone
e si risolve l'espressione risultante per . Risulta e dunque il differenziale è esprimibile come funzione razionale di .
In questa sostituzione è possibile scegliere sia il valore positivo sia quello negativo per la radice.
Seconda sostituzione di Eulero Se , poniamo
Risolvendo per come sopra si trova
Anche qui è possibile scegliere entrambi i valori per la radice.
Terza sostituzione di Eulero Se il polinomio ha radici reali e , si pone . Da qui si ottiene e anche in questo caso è possibile esprimere l'integranda come funzione razionale di .
Esempi di utilizzo Prima sostituzione di Eulero Nell'integrale possiamo usare la prima sostituzione e porre , da cui
Di conseguenza, otteniamo:
I casi corrispondono ai noti risultati:
Un altro esempio: per trovare il valore di
usando la prima sostituzione di Eulero poniamo . Elevando al quadrato entrambi i lati dell'equazione si ottiene , per cui si annullano i termini in . Risolvendo rispetto a si ottiene
Da qui troviamo la relazione tra i differenziali e :
Di conseguenza,
Seconda sostituzione di Eulero Nell'integrale
possiamo usare la seconda sostituzione e porre. Segue
e
Di conseguenza, otteniamo:
Terza sostituzione di Eulero Per calcolare
possiamo usare la terza sostituzione e porre. Ne segue
e
Di conseguenza,
L'ultimo termine è l'integrale di una funzione razionale, che può essere calcolato coi metodi usuali per la risoluzione di integrali di funzioni razionali.
Generalizzazioni Le sostituzioni di Eulero possono essere generalizzate facendo uso dei numeri immaginari. Ad esempio, nell'integrale , può essere utilizzata la sostituzione . Le estensioni ai numeri complessi consentono di utilizzare ogni tipo di sostituzione di Eulero indipendentemente dal segno dei coefficienti del polinomio sotto radice.
Le sostituzioni di Eulero possono inoltre essere generalizzate agli integrali della forma:
dove e sono funzioni razionali di e . Questo integrale può essere trasformato dalla sostituzione in un altro integrale
dove e sono funzioni razionali della sola variabile . In linea di principio, fattorizzazione e decomposizione in fratti semplici possono essere impiegate per scomporre l'integrale in termini semplici: questi ultimi possono essere integrati analiticamente mediante l'uso della funzione dilogaritmo.
Note
Voci correlate Integrazione per sostituzione Sostituzione di Weierstrass Metodi di integrazione
Categoria:Calcolo integrale