In geometria differenziale, una varietà pseudo-riemanniana è conformemente piatta se ogni suo punto ha un intorno che può essere mappato a uno spazio piatto mediante una trasformazione conforme.
In pratica la metrica sulla varietà deve essere conforme alla metrica piatta, ossia le geodetiche devono mantenere le angolazioni passando dall'una all'altra, oltre che mantenere invariate le geodetiche nulle. Ciò comporta che esiste una funzione tale che , dove è la metrica in questione, è la metrica piatta e è un punto della varietà. La radice quadrata di è definita fattore conforme.
Più formalmente, sia una varietà pseudo-riemanniana. Allora è conformemente piatta se per ogni punto in esiste un intorno di e una funzione liscia definita su tali che è piatta (cioè la curvatura di scompare su ). La funzione non deve essere necessariamente definita su tutto
Alcuni autori distinguono ulteriormente attribuendo la definizione precedente a una varietà localmente conformemente piatta e lasciando la definizione di conformemente piatta al caso in cui la funzione sia definita su tutto .
Esempi
Ogni varietà con curvatura sezionale costante è conformemente piatta. Ogni varietà pseudo-riemanniana bidimensionale è conformemente piatta. L'elemento di linea delle coordinate geografiche (sfera bidimensionale o ) ha come tensore metrico e non corrisponde a una metrica piatta, infatti rappresenta la sfera. Ma, usando la proiezione stereografica, è mappabile su un piano tramite il fattore conforme , dove è la distanza dall'origine dello spazio piatto,Stereographic projection - Properties. The Riemann's formula ottenendo . Una varietà pseudo-riemanniana tridimensionale è conformemente piatta se e solo se il tensore di Cotton svanisce. Una varietà pseudo-riemanniana -dimensionale per è conformemente piatta se e solo se il tensore di Weyl svanisce. Ogni varietà riemanniana compatta, semplicemente connessa, conformemente euclidea è conformemente equivalente alla ipersfera (sfera -dimensionale o ). Nella relatività generale si possono spesso usare varietà conformemente piatte, ad esempio per descrivere la metrica di Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, ma ciò non è possibile in generale, infatti è stato dimostrato che non esistono sezioni conformemente piatte della metrica di Kerr. Un esempio di metrica conformemente piatta è dato dalle coordinate di Kruskal-Szekeres che, considerando solo le prime due coordinate, temporale e radiale, è , il cui tensore metrico è , quindi non corrispondente a una varietà piatta. Ma mediante la trasformazione e si ottiene , con tensore metrico, che è la metrica piatta a meno del primo fattore dopo l'uguale (fattore conforme).
Note
Voci correlate
Geometria conforme
Categoria:Varietà geometriche Categoria:Geometria riemanniana