In geometria, un settore sferico è la porzione di una palla (comunemente detta "sfera"Benché spesso, soprattutto quando ci si riferisce a spazi tridimensionali, i termini "sfera" e "palla" siano usati intercambiabilmente per intendere lo stesso solido, in matematica con "sfera" si intende strettamente la superficie sferica che racchiude la "palla".) delimitata dalla superficie laterale di un cono retto avente il vertice nel centro della palla e dalla superficie laterale di una calotta sferica, essendo entrambi i solidi individuati da uno stesso piano secante alla palla, e quindi avendo essi la base in comune.
Si osserva che nel caso limite in cui il piano secante è diametrale l'angolo al vertice del cono è pari a π radianti e il settore sferico consiste quindi in un emisfero. Nel caso opposto, se il piano è tangente alla sfera, allora il settore sferico degenera nel segmento che unisce il centro della palla al punto di tangenza.
Proprietà Volume Siano r il raggio della sfera e h l'altezza della calotta sferica, il volume del settore sferico può essere scritto come:
o anche come:
dove φ è un angolo di ampiezza pari alla metà dell'apertura del cono, ossia è l'angolo che esiste tra l'altezza del cono e il raggio della sfera.
Il volume del settore sferico è legato all'area della calotta sferica, As, dalla relazione:
Area Siano r il raggio della sfera, a, il raggio della base della calotta sferica e h l'altezza della stessa calotta, la superficie del settore sferico, A, può essere scritta come:
o anche, utilizzando il precedentemente definito angolo φ:
Derivazione La prima formula sopra mostrata per il calcolo volume del settore sferico può essere derivata dalla somma del volume del cono e di quello della calotta sferica che condividono la base circolare di raggio a:
e considerando che, per il teorema di Pitagora: .
La seconda formula può invece essere derivata integrando l'elemento di volume in coordinate sferiche:
Allo stesso modo, l'area può essere calcolata integrando l'elemento area sferica in coordinate sferiche e ricordando che r è costante:
dove φ è l'inclinazione e θ è l'azimut.
Note
Voci correlate Calotta sferica Spicchio sferico
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Categoria:Geometria solida