In matematica, una funzione a valori reali o complessi definita su un dominio di (o, più in generale, in uno spazio topologico) si dice funzione a supporto compatto se ha per supporto un sottoinsieme compatto dell'insieme di definizione (il supporto è definito come la chiusura dell'insieme dei punti del dominio in cui la funzione non si annulla).
Rivestono particolare importanza le funzioni a supporto compatto che sono anche continue o infinitamente differenziabili: in tal caso si restringe il campo ad una classe molto ristretta di funzioni, dette funzioni di test, che vengono usate principalmente nella teoria delle distribuzioni.
Dal teorema di Heine-Borel e dalla definizione di supporto di una funzione segue che una funzione con dominio in (o ) è a supporto compatto se e solo se è diversa da 0 in un insieme limitato di punti, in quanto la chiusura di un insieme limitato è a sua volta limitata ed è chiusa per definizione.
Definizione Una funzione definita su uno spazio topologico si dice essere a supporto compatto se il suo supporto:
è un sottoinsieme compatto di , ovvero per ogni famiglia di sottoinsiemi aperti di tale che:
esiste un sottoinsieme finito di tale che:.
Un'importante classe di funzioni a supporto compatto è quella delle funzioni test. Lo spazio delle funzioni test sul dominio di è chiamato , mentre lo spazio delle funzioni test su è denotato con , ove non sia necessario specificare il numero di variabili.
È da notare che una funzione a supporto compatto in un dato dominio di può essere prolungata in modo naturale ad una funzione a supporto compatto su tutto semplicemente assegnando il valore 0 a tutti i punti al di fuori del dominio originario. In questo modo è possibile pensare ad una funzione in come avente dominio in , e quindi se si ha anche .
Le funzioni continue a supporto compatto Una classe particolarmente importante di funzioni a supporto compatto è quella delle funzioni che sono anche continue. Si dimostra che lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto su uno spazio di Hausdorff localmente compatto e a valori complessi è denso in uno spazio Lp definito su uno spazio di misura, a patto che .. Tale classe di funzioni gode inoltre della proprietà che due funzioni in differiscono soltanto per insiemi di misura di Lebesgue non nulla, e pertanto se sono uguali quasi ovunque allora sono uguali. Inoltre, facendo coincidere con lo spazio , poiché è completo, esso è il completamento dello spazio ottenuto dotando della -metrica. Nel caso in cui , il completamento di tramite la -metrica è lo spazio delle funzioni continue che si annullano all'infinito..
Proprietà Le funzioni a supporto compatto godono inoltre delle seguenti proprietà. Data una funzione localmente integrabile in e una in , allora l'integrale di Lebesgue:
ha sempre valore finito. Se è una funzione assolutamente continua su con derivata di Radon-Nikodym , allora vale:
In altre parole, nell'eseguire l'integrazione per parti con una funzione test, i termini di bordo si annullano.
La somma o il prodotto di due funzioni a supporto compatto è ancora a supporto compatto.
Convergenza Lo spazio può essere munito di una struttura di spazio topologico definendo un criterio di convergenza per le successioni. Una successione di funzioni di converge a una funzione se il supporto di è contenuto nel supporto di , e se le derivate di ogni ordine di convergono uniformemente alle corrispondenti derivate di .
Si tratta di una condizione molto forte di convergenza. Infatti, una successione convergente in è anche puntualmente convergente, uniformemente convergente e convergente nello spazio delle funzioni p-sommabili per ogni .
Esempi Un esempio di funzione a supporto compatto è la funzione a campana:
definita su tutto .
La funzione ha supporto nel disco chiuso di raggio 1 centrato nello 0, è infinitamente derivabile e si annulla con tutte le sue derivate per .
Una stretta parente della funzione a campana è data, , da:
dove è una costante reale positiva scelta in modo da avere:
La funzione gode delle stesse proprietà della campana, salvo che ha supporto nel disco chiuso di raggio . Si può dimostrare che le sono approssimanti della delta, nel senso che, presa una funzione continua nello 0, vale .
Un'importante funzione a supporto compatto in una variabile si ottiene dalla convoluzione di con la funzione caratteristica , che vale 1 per e 0 altrimenti. Si ha quindi, per ogni :
Si vede che, per questa funzione, vale:
quindi, per puntualmente.
Note
Bibliografia
trad. it.: K. Yosida, Functional analysis , Springer (1980) pp. Chapt. 8, Sect. 4; 5
Voci correlate Funzione continua Funzione liscia Funzione test Funzione di cutoff Spazio compatto Supporto (matematica) Teorema di Heine-Borel
Collegamenti esterni
Categoria:Analisi funzionale