Nella logica, la contrapposta di una proposizione condizionale si forma negando entrambi i termini e invertendo il verso dell'implicazione logica. La contrapposta dell'affermazione "Se A è, allora è B" è la proposizione "Se non-B è, allora è non-A". La relativa operazione logica di inferenza immediata si chiama contrapposizione. Un'affermazione e la sua contrapposta sono logicamente equivalenti poiché la verità dell'una implica la verità dell'altra: o sono entrambe vere o sono entrambe false.
Nella matematica, la dimostrazione per contrapposizione o prova per contrapposizione è una regola di inferenza usata nelle dimostrazioni, in cui si deduce un'affermazione condizionale dalla sua contrapposta. In altre parole, la conclusione "se A , allora B " viene dedotta costruendo una prova dell'affermazione "se non è B , allora non è A". Tale approccio è in genere preferito se la prova della contrapposta risulta più semplice della prova dell'affermazione condizionale di partenza.
La seguente tavola di verità dimostra la validità della dimostrazione per contrapposizione: pqpqp → qq → p V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V
Differenze con la dimostrazione per contraddizione Dimostrazione per contraddizione (reductio ad impossibile): si assume come ipotesi che sia vera. Si dimostra che è falsa, deducendo quindi che è falsa e per doppia negazione che è vera. Si noti che nella dimostrazione per assurdo si procede in un modo ancora diverso, assumendo che la tesi sia vera per dimostrare che . Dimostrazione per contrapposizione: per dimostrare che , si dimostra la proposizione contrapposta che è .
Esempi Sia un numero intero per dimostrare che se è pari, allora anche è pari.
Sebbene possa essere data una dimostrazione diretta, qui si sceglie di dimostrarlo per contrapposizione. La contrapposta della proposizione precedente è:
Se non è pari, allora non è pari
e, poiché gli unici numeri interi non pari sono quelli dispari, tale proposizione equivale a:
Se è dispari, allora è dispari
L'ultima proposizione può essere provata come segue: se è dispari, esso è del tipo per qualche e, sfruttando la formula del quadrato del binomio e un raccoglimento parziale, troviamo:
da cui segue che è dispari, come volevamo.
Avendo usato la contrapposta, possiamo inferire che la proposizione originale è vera. (p. 50).
Note
Voci correlate Contrapposizione Modus tollens Reductio ad absurdum
Categoria:Dimostrazioni matematiche Categoria:Logica proposizionale