La logica modale epistemica è una sottodisciplina della logica modale che si occupa del ragionamento sulla conoscenza. Mentre l'epistemologia vanta una lunga tradizione filosofica che risale all'antica Grecia, la logica epistemica ha avuto uno sviluppo molto più recente con applicazioni in molti campi, tra cui la filosofia, l'informatica teorica, l'intelligenza artificiale, l'economia e la linguistica.
La logica modale fu oggetto di discussione filosofica fin dai tempi di Aristotele e fu sviluppata dai filosofi medievali come Avicenna, Guglielmo di Ockham e Duns Scoto; la logica modale epistemica ebbe il primo approccio simbolico e sistematico all'argomento solamente nel 1912, con CI Lewis. Tale scienza continuò a progredire nel tempo finché nel 1963 raggiunse la sua forma moderna con l'opera di Kripke
Storia Fra i molti articoli pubblicati negli anni Cinquanta, l'articolo del 1951 del filosofo finlandese GH von Wright intitolato An Essay in Modal Logic è considerato come un documento fondativo. Nel 1962, un altro finlandese, Hintikka, scrisse Knowledge and Belief, il primo libro a suggerire l'uso di modalità per catturare la semantica della conoscenza piuttosto che le affermazioni aletiche tipicamente discusse nella logica modale.
Quest'opera gettò gran parte delle basi per l'argomento, ma da allora sono state condotte molte ricerche. Ad esempio, la logica epistemica è stata recentemente combinata con alcune idee dalla logica dinamica per creare la logica epistemica dinamica, che può essere utilizzata per descrivere e giustificare la variazione di informazioni e lo scambio di informazioni nei sistemi multiagente. Le opere seminali in questo campo sono di Plaza, Van Benthem e Baltag, Moss e Solecki.
Modello standard dei mondi possibili La maggior parte dei tentativi di modellare la logica epistemica si è basata sul modello dei mondi possibili. Per fare ciò, è necessario suddividere l'insieme dei mondi possibili tra quelli che sono compatibili con la conoscenza di un agente e quelli che non lo sono. Questo è generalmente conforme all'uso comune. Se so che è venerdì o sabato, so per certo che non è giovedì. Non esiste un mondo possibile compatibile con la mia conoscenza dove è giovedì, poiché in tutti questi mondi è venerdì o sabato.
Vale la pena menzionare l'altro metodo principale in uso, l'approccio basato sugli eventi. Gli eventi sono insiemi di mondi possibili e la conoscenza è un operatore degli eventi. Sebbene le strategie siano strettamente correlate, ci sono due importanti distinzioni da fare tra i due approcci:
Il modello matematico alla base dell'approccio basato sulla logica è la semantica di Kripke, mentre l'approccio basato sugli eventi impiega le relative strutture di Aumann basate sulla teoria degli insiemi; nell'approccio basato sugli eventi le formule logiche vengono eliminate completamente, mentre l'approccio basato sulla logica utilizza un sistema della logica modale.
Tipicamente, l'approccio basato sulla logica è stato utilizzato in campi come la filosofia, la logica e l'intelligenza artificiale, mentre l'approccio basato sugli eventi è più spesso utilizzato in campi come la teoria dei giochi e l'economia matematica. Nell'approccio basato sulla logica, una sintassi e una semantica sono state costruite usando il linguaggio della logica modale, che sarà descritto di seguito.
Sintassi L'operatore modale di base della logica epistemica, solitamente indicato con K, può essere letto come "è noto che", "è epistemicamente necessario che" o "è incoerente con ciò che è noto che non è". Se c'è più di un agente la cui conoscenza deve essere rappresentata, è possibile allegare pedici all'operatore (, , etc.) per indicare di quale agente si sta parlando. Così, può essere letto come "l'agente A sa che". Quindi, la logica epistemica può essere un esempio di logica multimodale applicata alla rappresentazione della conoscenza.p. 257 in: Il duale di K non è indicato da un simbolo specifico, ma può essere rappresentato da , che può essere letto come " non sa che non-" oppure "è coerente con la conoscenza di a il fatto che è possibile". La proposizione " non sa se o no" può essere espressa come .
Al fine di accogliere le nozioni di conoscenza comune e di conoscenza distribuita, al linguaggio possono essere aggiunti altri tre operatori modali. , che si legge "ogni agente del gruppo G sa"; ,, che si legge "è conoscenza comune per ogni agente nel gruppo G"; , che si legge "è conoscenza distribuita all'intero gruppo G". Se è una formula del linguaggio umano, allora lo sono anche , e .
Come il pedice dopo può essere omesso quando c'è un solo agente, così il pedice dopo , e può essere omesso quando essi si riferiscono al gruppo di tutti gli agenti (che è un gruppo unico).
Semantica Come accennato in precedenza, l'approccio basato sulla logica è costruito sul modello dei mondi possibili, alla cui semantica viene spesso data una forma definita nelle strutture di Kripke, note anche come modelli di Kripke. Una struttura Kripke M per n agenti sopra è una (n + 2)-tupla , dove S è un insieme non vuoto di stati o mondi possibili, è un'Interpretazione che associa ad ogni stato in S un'assegnazione di verità alle proposizioni primitive in (che è l'insieme di tutte le proposizioni primitive) e sono relazioni binarie su S per n numeri di agenti. Rilev anon confondere l'operatore modale con la relazione di accessibilità .
L'assegnazione di un valore di verità dice se una proposizione p è vera o falsa in un certo stato. Così, dice se p è vera nello stato s nel modello matematico . Il valore di verità non dipende soltanto dalla struttura, ma anche dal mondo attuale: ciò che è vero in un mondo non necessariamente è vero in un altro. Pe rindicare che una formula è vera in un determinato mondo, si scrive che , che normalmente si legge " è vera per (M,s)" oppure "(M,s) soddisfa ".
Giova pensare la relazione binaria come una relazione di possibilità dal momento che essa è tesa a determinare quali mondi o agenti di stato i sono considerati possibili. In altre parole, se e solo se e questi sono chiamati alternative epistemiche per l'agente I.
In una situazione ideale della conoscenza (p. es., descrivere lo stato epistemico di ragionatori perfetti con capacità di memoria infinita), ha senso che sia una relazione di equivalenza che è la forma più forte e più appropriata per il maggior numero di applicazioni. Una relazione di equivalenza è una relazione binaria riflessiva, simmetrica e transitiva. La relazione di accessibilità non possiede (necessariamente) queste caratteristiche. Sono possibili altre scelte, come quelle usate quando si modella ciò che si crede invece di ciò che si sa.
Proprietà della logica epistemica Supponendo che sia una relazione di equivalenza e che gli agenti operino in condizioni di razionalità perfetta, si possono derivare alcune proprietà della logica epistemica. Quelle elencate di seguito sono note come proprietà di S5.
Assioma della distributività Questo assioma è tradizionalmente noto come K. In termini epistemici, esso afferma che se un agente sa che e sa che , allora l'agente sa anche che . Quindi:
Questo assioma è valido in ogni tipo di semantica relazionale. L'assioma stabilisce logicamente il modus ponens come una regola di inferenza per ogni mondo epistemicamente possibile.
Regola di generalizzazione della conoscenza Un'altra proprietà che possiamo ricavare è che se è valida (ad esempio in una tautologia), allora vale anche . Ciò non significa che se è vera, allora l'agente i conosce . Ciò significa invece che se è vera in ogni mondo considerato possibile da un agente, allora l'agente deve conoscere in ogni mondo possibile. Questo principio è in genere chiamato N (regola di necessitazione).
Questa regola preserva sempre il valore di verità nella semantica relazionale.
Assioma della conoscenza o verità Questo assioma è noto come assioma T (dall'inglese truth, verità). Esso dice che se un agente conosce i fatti, i fatti devono essere veri. Questa è stata spesso considerata la principale caratteristica distintiva tra conoscenza e credenza. Possiamo credere che un'affermazione sia vera quando è falsa, mentre è impossibile conoscere una proposizione falsa. L'oggetto della conoscenza è la verità. In simboli si ha:
Questo assioma può anche essere espresso mediante la sua contrapposta, in quanto gli agenti non possono conoscere un'affermazione falsa:
Questo assioma è valido in qualsiasi frame della semantica di Kripke che goda della proprietà riflessiva.
Assioma dell'introspezione positiva L'assioma dell'introspezione positivaNome citato in e di quella negativa affermano che un agente ha un'introspezione sulla propria conoscenza, vale a dire che è consapevole di conoscere. Sono indicati come assiomi 4 e 5.
L'assioma dell'introspezione positiva, noto anche come assioma KK, afferma specificamente che gli agenti sanno di sapere quello che sanno. Questo assioma può sembrare meno ovvio di quelli elencati in precedenza e Timothy Williamson ha argomentato vigorosamente contro la sua inclusione nel suo libro intitolato Knowledge and Its Limits (La conoscenza e i suoi limiti).
In simboli si ha:
In modo equivalente, questo assioma modale 4 afferma che gli agenti non sanno ciò che non sanno di sapere:
Questo assioma è valido in qualsiasi frame della semantica di Kripke che goda della proprietà transitiva.
Assioma dell'introspezione negativa L'assioma dell'introspezione negativa dice che gli agenti sanno di non sapere ciò che non sanno. Se una cosa non è nota, l'agente non la sa e sa di non saperla.
In simboli si ha:
o, equivalentemente, l'assioma 5 afferma che gli agenti sanno ciò che non sanno di non sapere. Poiché se si ignora una cosa, si sa anche di non saperla, viceversa ciò che non si sa di non sapere, deve essere noto.
Questo assioma è valido in qualsiasi frame della semantica di Kripke che goda della proprietà euclidea.
Sistemi di assiomi Diverse logiche modali possono essere derivate assumendo come ipotesi diversi sottoinsiemi di questi assiomi. Queste logiche prendono normalmente il nome dagli assiomi importanti impiegati. Tuttavia, ciò non accade sempre.
Ad esempio, il sistema di logica modale KT45 risulta dalla combinazione degli assiomi K, T, 4 e 5, ma anche della regola di generalizzazione della conoscenza, che è conosciuta principalmente come S5 . Questo è il motivo per cui le proprietà della conoscenza sopra descritte sono spesso chiamate proprietà di S5. Tuttavia, si può dimostrare che l'assioma modale B è un teorema di S5 (vale a dire che ), che dice che ciò che un agente non sa di non sapere è vero: . L'assioma modale B è vero su qualsiasi frame che goda della proprietà simmetrica, ma è molto controintuitivo nella logica epistemica: come può l'ignoranza sulla propria ignoranza implicare verità? È quindi discutibile se S4 descriva meglio la logica epistemica, piuttosto che S5.
La logica epistemica si occupa anche della credenza, non solo della conoscenza. L'operatore modale di base viene solitamente indicato con B invece che con K. In questo caso, tuttavia, l'assioma della conoscenza non sembra più corretto - gli agenti solo a volte credono alla verità -, e quindi di solito viene sostituito con l'assioma di coerenza, tradizionalmente chiamato D:
che afferma che l'agente non crede a una contraddizione o a ciò che è falso. Quando D sostituisce T in S5, il sistema risultante è noto come KD45. Ciò si traduce in diverse proprietà per . Ad esempio, in un sistema in cui un agente "crede" che qualcosa sia vero, ma che in realtà non è vero, la relazione di accessibilità sarebbe non riflessiva. La logica della credenza si chiama logica doxastica.
Sistemi multi-agente