La teoria delle categorie è una teoria matematica che studia in modo astratto le strutture matematiche e le relazioni tra esse. La nozione di categoria fu introdotta per la prima volta da Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane nel 1945 nell'ambito della topologia algebrica. Le categorie ora appaiono in molte discipline della matematica e in alcune aree dell'informatica teorica e della fisica matematica costituendo una nozione unificante. Informalmente, una categoria è costituita da determinate strutture matematiche e da mappe tra esse che ne conservano le operazioni.

Categorie

Definizione Una categoria consiste di quanto segue. Una classe i cui elementi sono chiamati oggetti. Una classe i cui elementi sono chiamati morfismi, mappe o frecce. Ogni morfismo ha associati un unico oggetto sorgente e un unico oggetto destinazione in . La scrittura indica che è un morfismo con sorgente e destinazione . La classe dei morfismi da a è indicata con . Per ogni terna di oggetti , e di , è definita una funzione , chiamata composizione di morfismi. La composizione di con si indica con (talvolta si indica semplicemente ).

La composizione deve soddisfare i seguenti assiomi: (associatività) se , e , allora (identità) per ogni oggetto esiste un morfismo , chiamato morfismo identità su , tale che per ogni morfismo vale e per ogni morfismo si ha .

Dagli assiomi si deduce che ad ogni oggetto è associato un unico morfismo identità. Questo permette di dare una definizione diversa di categoria, data dalla sola classe dei morfismi: gli oggetti vengono identificati a posteriori con i corrispondenti morfismi identità.

Una categoria si dice piccola se la classe dei morfismi (e quindi quella degli insiemi, in corrispondenza biunivoca coi morfismi identità come detto sopra) è un insieme e grande altrimenti, ovvero se i morfismi formano una classe propria. Se per ogni coppia di oggetti in una categoria la classe dei morfismi tra di essi è un insieme, la categoria si dice localmente piccola (in particolare, ogni categoria piccola è localmente piccola). Molte importanti categorie sono grandi ma localmente piccole, come ad esempio la categoria degli insiemi e le funzioni tra di essi.

Esempi Negli esempi le categorie sono indicate tramite i loro oggetti e i corrispondenti morfismi.

Come sopra, gli insiemi e le funzioni tra essi I monoidi e gli omomorfismi tra essi I gruppi coi loro omomorfismi Gli spazi vettoriali e le funzioni lineari Gli spazi topologici e le funzioni continue Gli spazi misurabili e le funzioni misurabili Le varietà differenziabili e le funzioni differenziabili

Ogni monoide forma una categoria piccola con un singolo oggetto (il monoide stesso) avendo come morfismi le traslazioni associate agli elementi del monoide. (L'azione di un elemento di X su un qualunque altro elemento è definita dall'operazione binaria del monoide). Se I è un insieme, la categoria discreta su I è la categoria piccola che ha come oggetti gli elementi di I e come morfismi solo i morfismi identità. Da ogni categoria C si può definire una nuova categoria, la categoria duale che ha per oggetti gli stessi oggetti di C, ma che inverte la direzione dei morfismi (l'insieme diventa l'insieme ). Se (C,o') e (D,o") sono categorie, si può definire la categoria prodotto, i cui oggetti sono coppie (c,d) aventi per primo elemento un oggetto di C e per secondo un oggetto di D, i morfismi sono analoghe coppie di morfismi; la composizione viene definita componente per componente: .

Sebbene esistano dei "morfismi" tra le categorie (i funtori) non è possibile definire la "categoria delle categorie", in quanto le categorie che sono classi proprie non possono appartenere ad altre classi (per definizione). È possibile invece parlare della categoria delle categorie piccole, le quali, essendo insiemi, possono appartenere a una classe e quindi essere oggetti di una categoria.

Tipi di morfismi

Un morfismo f: A → B si chiama monomorfismo se per tutti i morfismi . epimorfismo se g1f = g2f implica g1 = g2 per tutti i morfismi g1, g2 : B → X. isomorfismo se esiste un morfismo g : B → A con fg = idB e gf = idA. endomorfismo se A = B. automorfismo se f è insieme un endomorfismo e un isomorfismo.

Funtori

I funtori sono mappe tra le categorie che ne conservano le strutture.

Un funtore covariante dalla categoria C alla categoria D è una mappa che associa: ad ogni oggetto X in C un oggetto F(X) in D ad ogni morfismo f:X→Y un morfismo F(f):F(X)→F(Y) in modo tale che valgano le seguenti proprietà: F(idX) = idF(X) per ogni oggetto X in C. F(g f) = F(g) F(f) per tutti i morfismi f : X → Y e g : Y → Z.

Un funtore contravariante è definito in maniera analoga, ma inverte i morfismi, cioè se f:X→ Y, allora F(f):F(Y)→ F(X). Dato un funtore covariante da C a D, il corrispondente funtore da C* a D è contravariante.

Trasformazioni e Isomorfismi naturali Due funtori F, G : C → D ci danno due rappresentazioni di C in D. Una trasformazione naturale è una associazione che permette di "tradurre" l'immagine che ne dà F in quella che ne dà G.

Se F e G sono funtori (covarianti) tra le categorie C e D, allora una trasformazione naturale da F a G associa a ogni oggetto X di C un morfismo ηX : F(X) → G(X) in D tale che per ogni morfismo f : X → Y in C abbiamo ηY F(f) = G(f) ηX; vale a dire che η rende commutativo il diagramma

I due funtori F e G si dicono naturalmente isomorfi se esiste una trasformazione naturale da F a G tale che ηX sia un isomorfismo tra oggetti in D per ogni oggetto X in C.

Bibliografia Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker (1990): Abstract and Concrete Categories , John Wiley & Sons ISBN 0-471-60922-6 Francis Borceux (1994): Handbook of Categorical Algebra I. Basic Category Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-44178-1 Francis Borceux (1994): Handbook of Categorical Algebra II. Categories and Structures, Cambridge University Press, ISBN 0-521-44179-X Francis Borceux (1994): Handbook of Categorical Algebra III. Categories of Sheaves, Cambridge University Press, ISBN 0-521-44180-3 Robert Goldblatt (1984): Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover William Lawvere, Steve Schanuel (1994): Teoria delle categorie: un'introduzione alla matematica, Franco Muzzio William Lawvere, Steve Schanuel (1997): Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge University Press Saunders Mac Lane (1998): Categories for the Working Mathematician (seconda edizione), Springer ISBN 0-387-98403-8 Michael Barr, Charles Wells (2002): Toposes, Triples and Theories

Voci correlate Funtore (matematica) Diagramma commutativo Gruppoide (teoria delle categorie) Categoria monoidale Categoria abeliana Lemma di Yoneda

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