Nella teoria della misura, più precisamente nella teoria ergodica, il lemma di Knopp è un risultato formulato da Konrad Knopp.
Enunciato Il lemma di Knopp afferma che se è un insieme misurabile secondo Lebesgue e è una classe di sottointervalli di tale che ogni sottointervallo aperto di è unione numerabile di elementi disgiunti di ; esiste tale che per ogni , con indipendente da e la misura di Lebesgue.
Allora .
Dimostrazione Per contraddizione, supponiamo che . Dato esiste un insieme che è unione disgiunta di intervalli aperti tali che . Dalle condizioni (1) e (2), segue che . Dalla scelta di e considerando che
allora
Pertanto ed essendo arbitrario, si ha una contraddizione.
Esempio di applicazione Sia un intero positivo. Consideriamo la funzione definita su . La trasformazione preserva la misura di Lebesgue:
e
Dimostriamo l'ergodicità di tale mappa utilizzando il lemma di Knopp. Si noti intanto che:
, per ogni
Sia
Si può verificare che soddisfa la prima ipotesi del lemma di Knopp. Sia misurabile secondo Lebesgue tale che e . Per ogni elemento , vale:
La seconda ipotesi del lemma di Knopp è quindi soddisfatta, prendendo
Bibliografia Lasota, Andrzej; Mackey M.C. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. Springer, second edition, 1994. Peter Walters (1982): An introduction to ergodic theory, Springer, ISBN 0-387-95152-0 Dajani, Karma: Ergodic Theory of Numbers. Mathematical Association of America, 2014, ISBN 9781614440277