In fisica, matematica e ingegneria, in particolare nella teoria dei sistemi, un sistema dinamico è un modello matematico che rappresenta un oggetto (sistema) con un numero finito di gradi di libertà che evolve nel tempo secondo una legge deterministica; tipicamente un sistema dinamico viene rappresentato analiticamente da un'equazione differenziale, espressa poi in vari formalismi, e identificato da un vettore nello spazio delle fasi, lo spazio degli stati del sistema, dove "stato" è un termine che indica l'insieme delle grandezze fisiche, dette variabili di stato, i cui valori effettivi "descrivono" il sistema in un certo istante temporale.
Descrizione
Lo studio dei sistemi dinamici rappresenta uno dei più antichi e importanti settori della matematica e della fisica; si tratta di un modello matematico utilizzato per descrivere i sistemi meccanici nell'ambito della meccanica classica e nella sua riformulazione sviluppata dalla meccanica lagrangiana e dalla meccanica hamiltoniana, e che è presente in molti settori dell'ingegneria, come l'automatica e l'ingegneria dei sistemi. Le applicazioni sono molteplici, spaziando dai circuiti elettrici ai sistemi termodinamici.
Alla fine del diciannovesimo secolo, poi, Henri Poincaré osserva la possibilità di un comportamento fortemente irregolare di alcuni sistemi dinamici studiando il problema dei tre corpi: negli anni '50 del secolo successivo, in seguito agli esperimenti numerici del meteorologo Edward Lorenz, che studiando l'atmosfera terrestre rivelò la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali, i risultati di Poincaré vennero presi in grande considerazione dalla comunità scientifica e posero le basi alla teoria del caos. Il comportamento caotico dei sistemi dinamici, la cui controparte matematica può raggiungere gradi di complessità che rendono vincolante l'utilizzo del calcolatore, è stato riscontrato in molti e diversi ambiti dello studio della natura della civiltà umana, tra cui la biologia e l'economia. Si può definire sistema dinamico un sistema la cui modellizzazione matematica può essere espressa da un'equazione differenziale (ordinaria o alle derivate parziali). A partire da questo esistono diversi formalismi matematici utili alla sua descrizione e studio sia in ambito fisico che ingegneristico (ingegneria dei sistemi e automatica).
Si possono identificare due tipologie di sistema dinamico: se l'evoluzione avviene ad intervalli discreti di tempo il sistema viene chiamato sistema dinamico discreto ed è definito dall'iterazione di una funzione; se l'evoluzione è continua e definita da un'equazione differenziale, il sistema viene chiamato sistema dinamico continuo.
Di particolare importanza sono i sistemi dinamici lineari, i più semplici da analizzare in quanto le equazioni non lineari non sono solitamente risolvibili in modo esatto. Tra i sistemi lineari, i sistemi lineari tempo-invarianti (sistemi LTI) vengono ampiamente utilizzati nella teoria dei segnali e nella teoria del controllo. Una delle caratteristiche dei sistemi dinamici che viene studiata più spesso è la stabilità. Per esempio, è comune studiare la stabilità in termini di limitatezza delle uscite nei confronti di un ingresso limitato (stabilità esterna), oppure in termini di allontanamento da uno stato di equilibrio (stabilità interna). Per analizzare matematicamente il comportamento di un sistema dinamico si utilizzano soprattutto due tipologie di descrizione, la rappresentazione in spazio di stato e il formalismo del dominio della frequenza (si veda la funzione di trasferimento nel caso di sistemi stazionari).
Definizione Nello specifico, per ogni si può definire tale che:
dove:
Ciò rispecchia il fatto che la legge di evoluzione del sistema non cambia essa stessa nel tempo. Le funzioni parametrizzate da , con la legge di composizione , formano un gruppo commutativo ad un parametro. Frequentemente nel caso discreto coincide con , mentre nel caso continuo coincide con .
Il grafico di è la traiettoria del sistema nel tempo e l'insieme:
è l'orbita passante per (ovvero l'immagine del flusso in ).
Un sottoinsieme è detto -invariante se:
In particolare, affinché sia invariante si deve verificare per tutti gli , ovvero il flusso lungo deve essere definito per tutti i punti di ad ogni tempo.
Allora abbiamo la seguente definizione: sia una varietà differenziale -dimensionale, con finito, e un gruppo di diffeomorfismi di mappe regolari , allora la coppia è detta sistema dinamico regolare invertibile (continuo se o discreto se oppure ).
Sistemi fisici
La dinamica dei sistemi fisici può essere caratterizzata dal fatto che il loro moto tra due punti di coordinate generalizzate e segue un cammino che rende stazionario, ovvero a variazione nulla, il funzionale azione: Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
in accordo con il principio di minima azione (principio variazionale di Hamilton). L'azione è l'integrale nel tempo della lagrangiana :
dove . Si dimostra che così definita soddisfa le equazioni di Eulero-Lagrange:
dove Rendere stazionaria l'azione corrisponde a minimizzare l'energia del sistema considerato, e solitamente si fa corrispondere all'energia totale del sistema una funzione , detta hamiltoniana e introdotta nel 1835 da William Rowan Hamilton, che dipende dalle coordinate generalizzate e dai rispettivi momenti coniugati:
L'hamiltoniana è data dalla somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale del sistema, ed è la trasformata di Legendre della lagrangiana : L.N. Hand, J.D. Finch, Analytical Mechanics, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
dove . La formalizzazione di un problema dinamico tramite il principio di minima azione (valido per sistemi olonomi e monogenici) è alla base della riformulazione della meccanica classica sviluppata dalla meccanica hamiltoniana e lagrangiana.
In particolare le equazioni di Hamilton:
sono equivalenti alle equazioni del moto di Eulero-Lagrange, a loro volta equivalenti alle equazioni di Newton.
Il principio di conservazione dell'energia viene poi espresso, in tale contesto, dicendo che è un integrale primo delle equazioni di Hamilton, oppure con il fatto che la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo:
Più in generale, per il teorema di Noether ad ogni simmetria della lagrangiana, ovvero ad ogni trasformazione infinitesima continua delle coordinate che lascia inalterata , corrisponde una quantità conservata.
Esempio In meccanica classica un esempio elementare di sistema dinamico è fornito da un punto che si muove nello spazio. Il punto viene completamente caratterizzato dalla sua posizione (un vettore dipendente da ) e dalla sua velocità . Lo stato di tale sistema è il vettore , dove è lo spazio degli stati utilizzato e i suoi elementi rappresentano tutti i possibili stati che il sistema può assumere. Lo spazio degli stati viene anche detto spazio delle fasi. L'evoluzione temporale del punto è quindi data dalle due derivate:
dove è l'accelerazione del punto (che dipende dalla somma delle forze a cui è soggetto). Definendo:
il moto del punto può essere scritto con l'equazione ordinaria autonoma:
Scegliendo un punto e una velocità iniziali , ovvero ponendo , si ottiene l'evoluzione del sistema a partire da (problema di cauchy per l'equazione differenziale).
Tutti i sistemi dinamici a tempo continuo vengono scritti in modo analogo, eventualmente con che dipende esplicitamente dal tempo:
dove è una funzione almeno differenziabile. Tale sistema può essere ricondotto a quello autonomo () con un cambio di variabili.
La soluzione al variare di è la traiettoria (orbita) seguita dal sistema nello spazio delle fasi a partire da . Nell'impostare formalmente lo studio di un sistema dinamico si fa in modo che la funzione sia sufficientemente regolare da fornire una soluzione unica (teorema di esistenza e unicità), in accordo con il fatto che l'evoluzione del sistema a partire da un punto dato è unica. In generale, un sistema dinamico è definito da un gruppo (o un semigruppo) , che è l'insieme dei valori del parametro tempo , e un insieme , detto lo spazio delle fasi o spazio degli stati. La funzione di evoluzione temporale (flusso) determina l'azione di su . Nella teoria ergodica è uno spazio misurabile con misura di probabilità e è una funzione misurabile che preserva , mentre nella cosiddetta topologia dinamica è uno spazio topologico completo e è una funzione continua (spesso anche invertibile).
Esempi tipici di sistemi dinamici continui sono: il sistema preda-predatore di Volterra-Lotka per la dinamica delle popolazioni; il sistema di Lorenz per l'evoluzione delle condizioni meteorologiche.
Esempi di sistemi dinamici discreti sono: la mappa logistica; la mappa di Hénon; la mappa standard.
Classificazione Sistemi continui Data una varietà , sia un campo vettoriale differenziabile, cioè che associa ad ogni punto un vettore le cui coordinate sono legate alle coordinate di (definite in un suo intorno rispetto a qualche base) tramite una funzione differenziabile. Un sistema dinamico è definito dall'equazione autonoma (l'equazione del moto per sistemi meccanici):
Trattandosi di un'equazione differenziale ordinaria, il relativo teorema di esistenza e unicità della soluzione stabilisce che preso un punto iniziale esiste un intervallo , con , in cui il sistema dinamico ha una soluzione unica .
Se la soluzione (traiettoria) esiste per tutti i tempi e per qualsiasi scelta del punto iniziale si ha che il tempo può scorrere nel verso contrario, ovvero è possibile predire il passato conoscendo uno stato del sistema nel futuro. In particolare, si verifica che e l'insieme delle forma un gruppo continuo ad un parametro di diffeomorfismi su .
La struttura matematica che viene assegnata allo spazio delle fasi dipende comunque dal contesto; solitamente è uno spazio topologico, in cui ha senso parlare di continuità nell'evoluzione temporale dello stato. Uno spazio topologico in cui è possibile l'utilizzo di strumenti metrici e differenziali è ad esempio la varietà differenziabile, una delle strutture più utilizzate in quanto risulta particolarmente adatta per modellare i sistemi fisici. Per i sistemi nei quali allo stato viene associata una nozione di misura, ad esempio una probabilità, si utilizza uno spazio misurabile. Si richiede inoltre che il flusso sia compatibile con la struttura di : nel caso in cui sia rispettivamente uno spazio topologico, uno spazio misurabile, una varietà differenziabile o una varietà complessa, è un omeomorfismo, una funzione misurabile, un diffeomorfismo o una funzione olomorfa.
Sistemi discreti I sistemi dinamici discreti sono definiti da un'iterazione del tipo:
di una funzione , con . Può essere vista come un'equazione alle differenze:
che definendo assume la stessa forma dell'equazione differenziale ordinaria del caso continuo.
Le orbite di un sistema discreto sono una successione di stati . Il gruppo di trasformazioni è quindi dato dall'insieme:
dove l'espressione indica la composizione di funzioni di con sé stessa iterata volte.
Classificazione in base a ingressi e uscite In ambito ingegneristico i sistemi dinamici vengono classificati in base al numero di variabili d'ingresso e d'uscita, si hanno infatti: sistemi a singolo ingresso e singola uscita (SISO, dall'inglese single input-single output); sistemi a ingresso multiplo e uscita multipla (MIMO, dall'inglese multiple input-multiple output); e meno frequentemente: sistemi a singolo ingresso e uscita multipla (SIMO, dall'inglese single input-multiple output); sistemi a ingresso multiplo e singola uscita (MISO, dall'inglese multiple input-single output).
Sistemi lineari
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