In matematica, la monstrous moonshine è la connessione inaspettata tra il gruppo mostro M e le funzioni modulari, in particolare, l'invariante j. L'osservazione numerica iniziale venne fatta da John McKay nel 1978, e la frase fu coniata nel 1979 da John Conway e Simon P. Norton.
Il monstrous moonshine è alla base di un'algebra di operatori di vertice chiamata modulo moonshine costruito da Igor Frenkel, James Lepowsky e Arne Meurman nel 1988, che ha il gruppo mostro come gruppo di simmetrie. Questa algebra è comunemente interpretata come una struttura alla base di una teoria di campo conforme bidimensionale, consentendo alla fisica di formare un ponte tra due aree matematiche. Le congetture fatte da Conway e Norton furono dimostrate da Richard Borcherds per il modulo moonshine nel 1992 utilizzando il teorema no-ghost della teoria delle stringhe e della teoria delle algebre degli operatori di vertice e delle algebre generalizzate di Kac-Moody.
Storia Nel 1978, John McKay notò come i primi termini della serie di Fourier dell'invariante J normalizzata (sequenza A014708 nell'OEIS),
dove e è il rapporto di semiperiodo possono essere espressi mediante combinazioni lineari delle dimensioni di rappresentazioni irriducibili del gruppo mostro M (sequenza A001379 nell'OEIS) con piccoli coefficienti non-negativi. Sia = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, ... allora
dove a sinistra si hanno i coefficienti di , mentre a destra gli interi sono le dimensioni delle rappresentazioni irriducibili del gruppo mostro M. (Siccome esistono diverse relazioni lineari tra gli come , la rappresentazione potrebbe presentarsi in molteplici modi.) McKay vide questo come una prova che esiste una naturale rappresentazione graduata a dimensione infinita di M, la cui dimensione graduata è data dai coefficienti di J e i cui pezzi di peso inferiore si decompongono in rappresentazioni irriducibili come sopra. Dopo aver informato John G. Thompson di questa osservazione, Thompson suggerì che poiché la dimensione graduata è solo la traccia graduata dell'elemento identità, anche le tracce graduate degli elementi non banali g di M su tale rappresentazione potrebbero essere interessanti.
Conway e Norton calcolarono i termini di ordine inferiore di tali tracce graduate, ora noti come serie di McKay-Thompson Tg, e scoprirono che sembravano tutte espansioni di Hauptmoduln (curve modulari con genere nullo). In altre parole, se Gg è il sottogruppo di SL2(R) che fissa Tg, allora il quoziente della semipiano complesso superiore per Gg è una sfera con un numero finito di punti rimossi, e inoltre Tg genera il campo di funzioni meromorfe su questa sfera.
Sulla base dei loro calcoli, Conway e Norton hanno prodotto una lista di Hauptmoduln e hanno congetturato l'esistenza di una rappresentazione graduata di dimensione infinita di M, le cui tracce graduate Tg sono le espansioni proprio delle funzioni sulla loro lista.
Nel 1980, A. Oliver L. Atkin, Paul Fong e Stephen D. Smith hanno prodotto una forte prova computazionale dell'esistenza di una tale rappresentazione graduata, scomponendo un gran numero di coefficienti di J in rappresentazioni di M. Una rappresentazione graduata la cui dimensione graduata è J , chiamato modulo moonshine, fu costruita esplicitamente da Igor Frenkel, James Lepowsky e Arne Meurman, fornendo una soluzione efficace alla congettura di McKay-Thompson, e determinarono anche le tracce graduate per tutti gli elementi nel centralizzatore di un'involuzione di M, risolvendo parzialmente la congettura di Conway-Norton. Inoltre, hanno dimostrato che lo spazio vettoriale che hanno costruito, chiamato Modulo Moonshine , ha la struttura addizionale di un'algebra di operatori di vertice, il cui gruppo di automorfismi è proprio M.
Nel 1985, l'Atlante dei gruppi finiti fu pubblicato da un gruppo di matematici, tra cui John Conway. L'Atlante, che enumera tutti i gruppi sporadici, includeva "Moonshine" come sezione nel suo elenco delle proprietà notevoli del gruppo mostro.
Borcherds ha dimostrato la congettura di Conway-Norton per il modulo Moonshine nel 1992. Ha vinto la medaglia Fields nel 1998 in parte per la sua soluzione della congettura.
Il modulo moonshine la costruzione di Frenkel–Lepowsky–Meurman inizia con due strumenti principali:
La costruzione di un'algebra degli operatori dei vertici di reticolo VL per un reticolo L di grado n. In termini fisici, questa è l'algebra chirale per una stringa bosonica compattata su di un toro Rn/L. Può essere descritta grossomodo come il prodotto tensoriale dell'anello di gruppo di L con la rappresentazione dell'oscillatore in n dimensioni (che è isomorfo all'anello dei polinomi in infiniti generatori). Per il caso in questione, si imposta L come reticolo di Leech, che ha grado 24. La costruzione orbifold. In termini fisici, questo descrive una stringa bosonica che si propaga in un orbifold quoziente. La costruzione di Frenkel–Lepowsky–Meurman fu la prima volta in cui gli orbifold apparvero nella teoria dei campi conformi. Attaccato alla –1 involuzione del reticolo di Leech c'è un'involuzione h di VL e un VL-modulo irriducibile h-contorto, che inerita un sollevamento ad involuzione h. Per ottenere il modulo moonshine, si prende il sottospazio di punti fissi di h nella somma diretta di VL e il suo modulo contorto.
Frenkel, Lepowsky e Meurman hanno poi dimostrato che il gruppo di automorfismi del modulo moonshine, come algebra degli operatori di vertice, è M. Inoltre, hanno determinato che le tracce graduate degli elementi nel sottogruppo 21+24.Co1 corrispondono alle funzioni previste da Conway e Norton.
La dimostrazione di Borcherds La dimostrazione di Richard Borcherds della congettura di Conway e Norton può essere suddivisa nei seguenti passaggi principali:
Si inizia con un'algebra degli operatori di vertice V con una forma bilineare invariante, un'azione di M mediante automorfismi e con la nota scomposizione degli spazi omogenei dei sette gradi inferiori in M-rappresentazioni irriducibili. Ciò è stato fornito dalla costruzione e analisi di Frenkel-Lepowsky-Meurman del modulo Moonshine. Un'algebra di Lie , chiamata la algebra mostro di Lie, è costruita da V utilizzando un funtore di quantizzazione. È un'algebra di Lie di Kac-Moody generalizzata con un'azione mostro mediante automorfismi. Utilizzando il teorema "no-ghost" di Goddard-Thorn della teoria delle stringhe, si scopre che le molteplicità delle radici sono coefficienti di J. Si utilizza l'identità del prodotto infinito Koike-Norton-Zagier per costruire un'algebra di Lie di Kac-Moody generalizzata mediante generatori e relazioni. L'identità viene dimostrata utilizzando il fatto che gli operatori di Hecke applicati a J producono polinomi in J. Confrontando le molteplicità delle radici, si trova che le due algebre di Lie sono isomorfe e, in particolare, la formula del denominatore di Weyl per è precisamente l'identità di Koike-Norton-Zagier. Utilizzando l'omologia dell'algebra di Lie e le operazioni di Adams, per ciascun elemento viene data un'identità di denominatore contorta. Queste identità sono legate alla serie di McKay-Thompson Tg più o meno allo stesso modo in cui l'identità Koike-Norton-Zagier è legata a J. Le identità distorte del denominatore implicano relazioni di ricorsione sui coefficienti di Tg, e il lavoro inedito di Koike ha mostrato che le funzioni candidate di Conway e Norton soddisfacevano queste relazioni di ricorsione. Queste relazioni sono abbastanza forti che basta verificare che i primi sette termini coincidano con le funzioni fornite da Conway e Norton. I termini più bassi sono dati dalla scomposizione dei sette spazi omogenei di grado più basso dati nel primo passaggio.
La dimostrazione è quindi completata. Lavori più recenti hanno semplificato e chiarito gli ultimi passaggi della dimostrazione. Jurisich ha scoperto che il calcolo dell'omologia potrebbe essere sostanzialmente abbreviato sostituendo la consueta scomposizione triangolare dell'algebra di Lie mostro con una scomposizione in una somma di gl2 e due algebre di Lie libere. Cummins e Gannon hanno dimostrato che le relazioni di ricorsione implicano automaticamente che le serie di McKay Thompson siano Hauptmoduln o terminino dopo al massimo 3 termini, eliminando così la necessità di calcolo nell'ultimo passaggio.
Moonshine generalizzato Conway e Norton suggerirono nel loro articolo del 1979 che forse la moonshine non è limitato al mostro, ma che fenomeni simili possono essere trovati per altri gruppi. Mentre le affermazioni di Conway e Norton non erano molto specifiche, i calcoli di Larissa Queen nel 1980 suggerivano fortemente che si possono costruire le espansioni di molti Hauptmoduln da semplici combinazioni di dimensioni di rappresentazioni irriducibili di gruppi sporadici. In particolare, ha scomposto i coefficienti della serie di McKay-Thompson in rappresentazioni di sottoquozienti del Mostro nei seguenti casi:
T2B e T4A in rappresentazioni del gruppo di Conway Co0 T3B e T6B in rappresentazioni del gruppo di Suzuki 3.2.Suz T3C in rappresentazioni del gruppo di Thompson Th = F3 T5A in rappresentazioni del gruppo di Harada–Norton HN = F5 T5B e T10D in rappresentazioni del gruppo di Hall-Janko 2.HJ T7A in rappresentazioni del gruppo di Held He = F7 T7B e T14C in rappresentazioni di 2.A7 T11A in rappresentazioni del gruppo di Mathieu 2.M12
Queen scoprì che anche le tracce di elementi non identitari producevano q-espansioni di Hauptmoduln, alcune delle quali non erano serie di McKay-Thompson del Mostro. Nel 1987, Norton combinò i risultati di Queen con i suoi calcoli per formulare la congettura della Moonshine generalizzata. Questa congettura asserisce che esiste una regola che assegna ad ogni elemento g del mostro, uno spazio vettoriale graduato V(g), e ad ogni coppia commutante di elementi (g, h) una funzione olomorfa f(g, h, τ) sul semipiano superiore, tale che:
Ogni V(g) è una rappresentazione proiettiva graduata del centralizzatore di g in M. Ogni f(g, h, τ) è una funzione costante o un Hauptmodul. Ogni f(g, h, τ) è invariante per coniugazione simultanea di g e h in M, a meno di un'ambiguità scalare. Per ogni (g, h), c'è un sollevamento di h ad una trasformazione lineare su V(g), tale che l'espansione di f(g, h, τ) è data dalla traccia graduata. Per ogni , è proporzionale a . f(g, h, τ) è proporzionale a J se e solo se g = h = 1.
Questa è una generalizzazione della congettura di Conway-Norton, perché il teorema di Borcherds riguarda il caso in cui g è impostato come identità.
Come la congettura di Conway-Norton, anche la Moonshine generalizzata ha un'interpretazione in fisica, proposta da Dixon–Ginsparg–Harvey nel 1988. Hanno interpretato gli spazi vettoriali V(g) come settori contorti di una teoria di campo conforme con simmetria mostruosa, e hanno interpretato le funzioni f(g, h, τ) come funzioni di partizione di genere uno, dove si forma un toro incollando lungo condizioni limite contorte. Nel linguaggio matematico, i settori contorti sono moduli contorti irriducibili, e le funzioni di partizione sono assegnate a curve ellittiche con fibrati mostro principali, il cui tipo di isomorfismo è descritto dalla monodromia lungo una base di 1-cicli, cioè una coppia di elementi commutanti.
Moonshine modulare