In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, un insieme si dice transitivo se vale una delle seguenti condizioni equivalenti:

se e , allora . se e non è un Ur-elemento, allora è un sottoinsieme di .

Allo stesso modo, una classe è detta transitiva se ogni elemento di è un sottoinsieme di .

Esempi Un insieme è detto numero ordinale se è transitivo e totalmente ordinato dall'appartenenza. La classe di tutti gli ordinali è una classe transitiva.

Uno qualsiasi dei livelli e che portano alla costruzione dell'universo di von Neumann e dell'universo costruibile di Gödel sono insiemi transitivi. Gli universi e sono essi stessi classi transitive.

Quello che segue è un elenco completo di tutti gli insiemi transitivi finiti con un massimo di 20 parentesi:

Proprietà Un insieme è transitivo se e solo se , dove è l'unione di tutti gli elementi di che sono insiemi, .

Se è transitivo, anche è transitivo.

Se e sono transitivi, e sono transitivi. In generale, se è una classe i cui elementi sono insiemi transitivi, allora e sono transitivi. (La prima affermazione di questo paragrafo si ottiene nel caso di .)

Un insieme che non contiene Ur-elementi è transitivo se e solo se è un sottoinsieme del proprio insieme potenza, L'insieme potenza di un insieme transitivo senza Ur-elementi è transitivo.

Chiusura transitiva La chiusura transitiva di un insieme è il più piccolo insieme transitivo che contiene come sottoinsieme, . Dato l'insieme , la sua chiusura transitiva risulta essere

Infatti, denotando e , vogliamo mostrare che l'insieme

è transitivo e che per ogni insieme transitivo che contiene come sottoinsieme, si abbia .

Mostriamo che è transitivo. Siano . Ma allora esiste tale che e pertanto . Poiché , si ha e è transitivo.

Sia ora come sopra. Mostriamo per induzione che per ogni e dunque che . Il caso base vale essendo per ipotesi . Ora supponiamo . Allora . Ma è transitivo, quindi e dunque . Questo completa la dimostrazione.

Modelli transitivi della teoria degli insiemi

Note

Voci correlate Relazione transitiva

Categoria:Teoria degli insiemi