In matematica, un'operazione binaria definita su un insieme è commutativa se e solo se
Se questa proprietà non è valida per ogni coppia di elementi, l'operazione è quindi detta non commutativa.
In particolare, se è vera la proprietà
l'operazione è detta anticommutativa.
Due elementi e commutano se . Quindi l'operazione è commutativa se e solo se due elementi di commutano sempre.
Esempi Operazioni commutative
I più comuni esempi di operazioni binarie commutative sono l'addizione () e la moltiplicazione (), considerate sull'insieme di tutti i numeri reali, o solo sui numeri positivi, naturali o razionali, oppure estese ai numeri complessi; per esempio:
(poiché entrambe le espressioni sono uguali a 9); (poiché entrambe le espressioni valgono 6).
Altre operazioni binarie commutative sono: minimo comune multiplo e massimo comun divisore applicati a coppie di interi positivi; minimo e massimo applicati a coppie di numeri reali o in generale a coppie di elementi di insiemi parzialmente ordinati; addizione di vettori; intersezione e unione di insiemi; congiunzione logica e disgiunzione inclusiva; composizioni di traslazioni nel piano, nello spazio tridimensionale o in un qualsiasi spazio vettoriale; composizioni di rotazioni intorno ad un dato punto nel piano.
Operazioni non commutative Tra le operazioni binarie non commutative tra numeri vi sono la sottrazione (), la divisione () e l'elevamento a potenza (), definite su insiemi opportuni di numeri reali.
Anche la composizione di funzioni () in molti contesti non è commutativa: ad esempio le funzioni reali e non commutano, in quanto
Un'altra importante operazione non commutativa è la moltiplicazione fra matrici quadrate. Ad esempio:
Il prodotto vettoriale, invece, rappresenta un esempio di operazione anticommutativa. Siano . Si ha:
Strutture algebriche con operazioni commutative Un gruppo è abeliano, o anche commutativo, se l'operazione che vi è definita è commutativa.
Un anello ha definite due operazioni, chiamate generalmente "somma" e "prodotto" in analogia con i numeri interi. L'operazione di "somma" è sempre commutativa, ma l'operazione "prodotto" no. Un anello è chiamato abeliano o commutativo se anche la moltiplicazione è commutativa.
Generalmente, le strutture algebriche abeliane sono molto più semplici delle analoghe non abeliane.
Tavola di composizione Un'operazione è commutativa se e solo se la sua tavola di composizione è simmetrica. Per esempio le tavole di composizione delle operazioni minimo comune multiplo e massimo comun divisore per l'insieme dei numeri interi da 1 a 6 sono
e
Voci correlate Associatività Distributività Commutatore (matematica)
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