right|frame|Proiezione stereografica dei paralleli (rosso), meridiani (blu) e ipermeridiani (verde) di una ipersfera. Grazie alla proprietà conforme della proiezione stereografica, i tre tipi di curva si intersecano in modo ortogonale fra di loro (nei punti gialli), come succede in 4 dimensioni. Tutte le curve succitate sono circonferenze: quelle che passano per il centro di proiezione <0,0,0,1> hanno raggio infinito (sono linee rette).
In matematica, e in particolare in geometria, una ipersfera è l'analogo di una sfera in più di tre dimensioni. Una ipersfera di raggio nello spazio euclideo -dimensionale consiste di tutti i punti che hanno distanza da un dato punto fissato , chiamato centro dell'ipersfera
e rappresenta quindi un'ipersuperficie, ossia una varietà -dimensionale immersa nello spazio -dimensionale. Per tale motivo, su alcuni testi, in particolare in topologia, viene indicata con invece che . In questo articolo, sarà indicata con , per rendere più chiare alcune relazioni matematiche. Tuttavia, accenneremo alla notazione utilizzata in topologia nell'ultimo paragrafo.
Nello spazio euclideo, l'ipersfera è la frontiera della palla -dimensionale chiusa, che è l'insieme di tutti i punti che hanno distanza minore o uguale a da un dato punto
e racchiude la palla -dimensionale aperta, che è l'insieme di tutti i punti che hanno distanza minore di da un dato punto
Per esempio:
nello spazio euclideo 1-dimensionale, ossia la retta, è una coppia di punti che delimita che è un segmento; nello spazio euclideo 2-dimensionale, ossia il piano, è una circonferenza che delimita che è un cerchio; nello spazio euclideo 3-dimensionale, è una superficie sferica ordinaria che delimita che è l'interno della sfera.
Rappresentazione di un'ipersfera In coordinate cartesiane , l'equazione
di un'ipersfera di centro e raggio si scrive
Un'ipersfera di raggio e centro può essere anche rappresentata in forma parametrica mediante le seguenti equazioni:
dove l'ultima variabile angolare varia in un intervallo di ampiezza mentre le altre variano un intervallo di ampiezza .
Coordinate ipersferiche Strettamente correlata alla rappresentazione parametrica di un'ipersfera, c'è la definizione di coordinate ipersferiche.
In uno spazio euclideo -dimensionale, oltre alle coordinate cartesiane, possiamo definire un sistema di coordinate analogo al sistema delle coordinate sferiche definito per lo spazio euclideo -dimensionale, nel quale le coordinate consistono in una coordinata radiale , ed coordinate angolari . Se sono le coordinate cartesiane, allora possiamo definire
Come abbiamo visto in precedenza, queste equazioni forniscono anche la rappresentazione parametrica di un'ipersfera, se fissiamo la coordinata radiale che corrisponderà al raggio dell'ipersfera rappresentata, supponendo che essa sia centrata nell'origine.
Da esse si possono ottenere le seguenti trasformazioni inverse:
Si noti che l'ultimo angolo varia in un intervallo di ampiezza mentre gli altri angoli variano in un intervallo di ampiezza . Questo intervallo copre l'intera ipersfera.
L'elemento di ipervolume nello spazio euclideo -dimensionale si ottiene dallo Jacobiano della trasformazione:
e l'equazione per l'ipervolume dell'ipersfera può essere ottenuta tramite la seguente integrazione:
L'elemento di ipersuperficie -dimensionale dell'ipersfera, che generalizza l'elemento d'area della superficie sferica -dimensionale nello spazio -dimensionale, è dato da:
e si ha
Ipervolume e ipersuperficie Quando si parla di "volume", o più propriamente di ipervolume, di una ipersfera , in realtà ci si riferisce alla misura -dimensionale della corrispondente palla . Invece, quando si parla di "area superficiale", o più propriamente di misura ipersuperficiale, di una ipersfera , ci si riferisce alla sua misura -dimensionale. Come misura, solitamente, si considera la misura di Lebesgue.
Chiarito ciò, si dimostra che l'ipervolume dell'ipersfera è dato da:
dove denota la funzione Gamma.
Invece la misura ipersuperficiale dell'ipersfera è data da:
A questo punto, una volta dimostrate queste espressioni, dalle proprietà della funzione Gamma, si evince che:
(Quest'ultima formula deve essere modificata se si adopera la notazione utilizzata in topologia, vedi più avanti.)
Dimostrazione
Calcolo della misura ipersuperficiale
Osserviamo che risulta
poiché si tratta del prodotto di n integrali di Gauss.
D'altra parte, ricordando l'equazione dell'ipersfera in coordinate cartesiane, se l'ipersfera è centrata nell'origine il suo raggio è dato da
e, inoltre, l'integrale esteso a tutto lo spazio può essere scritto come l'integrale ottenuto sommando tutti i contributi che si hanno nelle corone ipersferiche di spessore infinitesimo centrate nell'origine, cioè
Dalle due identità, otteniamo
Notiamo adesso che la misura dell'ipersuperficie di un'ipersfera di raggio r è in relazione con la misura dell'ipersuperficie di un'ipersfera di raggio unitario nel seguente modo:
Allora dall'identità precedente abbiamo
In questo integrale, operiamo la sostituzione
da cui
Così facendo, otteniamo
Nell'ultimo integrale si riconosce facilmente la definizione della funzione Gamma, quindi si ha
ossia
da cui
Relazione tra ipervolume e misura ipersuperficiale È facile comprendere che l'ipervolume -dimensionale di un'ipersfera, come funzione del raggio , è una primitiva della misura -dimensionale dell'ipersuperficie. Infatti l'ipervolume può essere scritto come l'integrale ottenuto sommando tutti i contributi dati dagli ipervolumi delle corone ipersferiche di spessore infinitesimo centrate nell'origine, cioè
Alternativamente, ciò si ottiene anche dalla formula di Minkowski-Steiner, in virtù della quale risulta
Dunque
Metodo alternativo di calcolo dell'ipervolume Allo stesso risultato si può addivenire con tecniche classiche molto utili per imparare a ragionare in spazi n-dimensionali ed a sporcarsi le mani con integrali e manipolazioni. Prendiamo in considerazione una ipersfera in centrata nell'origine di raggio ed uno degli assi che identifichiamo con . Per ogni punto di tale asse compreso nell'intervallo facciamo passare un iperpiano perpendicolare ad . L'intersezione di questo iperpiano con la nostra ipersfera è un ipercerchio, cioè un ipersfera di dimensione , il cui raggio è . Possiamo, dunque, scrivere il volume della ipersfera come l'integrale da ad della misura dell'ipercerchio. Da questo integrale ricaviamo una relazione tra e ; essendo noto da semplici considerazioni determiniamo tutti gli altri
operiamo la sostituzione
avendo definito Pertanto (in questo caso la ipersfera centrata nell'origine di raggio è semplicemente il segmento da ad la cui lunghezza è )
Ricordando la definizione di e che
Tabella di valori al variare del numero di dimensioni Numero di dimensioni n Ipervolume Misura ipersuperficiale Valore numerico Valore numerico 1 2,000.000.000 2,000.000.000 2 3,141.592.654 6,283.185.307 3 4,188.790.205 12,566.370.614 4 4,934.802.201 19,739.208.802 5 5,263.789.014 26,318.945.070 6 5,167.712.780 31,006.276.680 7 4,724.765.970 33,073.361.792 8 4,058.712.126 32,469.697.011 9 3,298.508.903 29,686.580.125 10 2,550.164.040 25,501.640.399 11 1,884.103.879 20,725.142.673 12 1,335.262.769 16,023.153.226 13 0,910.628.755 11,838.173.812 14 0,599.264.529 8,389.703.410 15 0,381.443.281 5,721.649.212 16 0,235.330.630 3,765.290.086 17 0,140.981.107 2,396.678.818 18 0,082.145.887 1,478.625.959 19 0,046.621.601 0,885.810.420 20 0,025.806.891 0,516.137.828 thumb|left|upright=1.6|Andamento dell'ipervolume relativo all'ipersfera unitaria al variare del numero di dimensioni, considerando anche l'estrapolazione della funzione a numeri non interi.thumb|upright=1.6|Andamento della misura ipersuperficiale relativa all'ipersfera unitaria al variare del numero di dimensioni, considerando anche l'estrapolazione della funzione a numeri non interi.
(La tabella vista poc'anzi deve essere modificata se si adopera la notazione utilizzata in topologia, vedi più avanti.)
Considerazioni Come si può notare, in entrambe le espressioni viste in precedenza per e per , l'esponente di aumenta di una unità ogni volta che il numero di dimensioni aumenta di due unità, passando al numero pari successivo.
È anche interessante notare come, al tendere del numero di dimensioni ad infinito, ipervolume e misura ipersuperficiale tendano a zero indipendentemente dal raggio:
Nota Bene: Ciò non va interpretato pensando che, al crescere del numero di dimensioni, l'ipersfera tenda a non occupare ipervolume, ma va semplicemente interpretato dicendo che il rapporto tra il suo ipervolume e quello dell'ipercubo -dimensionale di lato unitario tende a zero. La spiegazione geometrica è che, fissato il raggio di una ipersfera e fissata la lunghezza del lato di un ipercubo, al crescere del numero di dimensioni, mentre il diametro dell'ipersfera resta costante, la diagonale dell'ipercubo cresce proporzionalmente a .
Quindi, fissato il raggio , le funzioni ed , al crescere del numero di dimensioni, prima raggiungono un valore massimo e poi decrescono indefinitamente. In particolare, nel caso dell'ipersfera di raggio unitario , l'ipervolume raggiunge il suo valore massimo per dimensioni, mentre la misura ipersuperficiale raggiunge il suo valore massimo per dimensioni, nel qual caso l'ipersuperficie è una varietà -dimensionale.
Un'altra considerazione particolare è la seguente: consideriamo due ipersfere nello spazio -dimensionale, delle quali una di raggio e l'altra di raggio minore , essendo . Il rapporto tra i due ipervolumi
fissato , tende comunque a , al crescere del numero di dimensioni, qualunque sia il valore (anche molto piccolo) scelto per , poiché . Ciò si interpreta dicendo che, al crescere del numero di dimensioni, la maggior parte dell'ipervolume racchiuso nell'ipersfera tende a concentrarsi in prossimità dell'ipersuperficie. La stessa considerazione vale anche per altre figure geometriche -dimensionali.
Notiamo, infine, che la relazione tra ipervolume e misura ipersuperficiale può essere riscritta anche nel modo seguente:
Questa identità può essere interpretata come una generalizzazione al caso -dimensionale della dimostrazione tramite infinitesimi che si applica per il volume della sfera ordinaria, considerando l'ipersfera come l'unione di infinite iperpiramidi -dimensionali infinitesime aventi ciascuna il vertice nel centro dell'ipersfera e la base -dimensionale che poggia sull'ipersuperficie; queste infinite iperpiramidi elementari riempiono tutto e solo l'ipervolume dell'ipersfera e l'ipervolume di ogni iperpiramide è:
Rappresentazione come coefficienti di Taylor L'ipervolume della sfera unitaria può essere calcolato anche mediante l'-esimo coefficiente nell'espansione di Taylor della funzione
dove
è la funzione degli errori. In particolare
dove stiamo includendo anche le definizioni (la cardinalità di un insieme composto da un singolo punto: la palla unitaria in dimensione 0) e (la lunghezza del segmento : la palla unitaria in dimensione 1).
Infatti, posta la palla unitaria, applicando la formula di coarea riusciamo a scrivere (per ogni )
Pertanto, sfruttando la convergenza totale della serie su ogni sottoinsieme chiuso e limitato di , scriviamo
Osservando inoltre che si può riscrivere la somma come
Infine, ponendo , si ottiene
I paradossi delle ipersfere I cosiddetti paradossi delle ipersfere, impropriamente definiti tali, sono, in realtà, solo particolari proprietà geometriche degli spazi euclidei con numero di dimensioni elevato, in particolare, con numero di dimensioni maggiore di ; l'appellativo di "paradossi" è dovuto al carattere apparentemente antiintuitivo di tali proprietà geometriche, se si opera un confronto con ciò che accade nello spazio -dimensionale ordinario.