In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la segnatura è una terna di numeri che corrispondono al numero di autovalori di una matrice simmetrica (o di un prodotto scalare associato).
La segnatura è utile a determinare le proprietà essenziali di un prodotto scalare. Ad esempio, un prodotto scalare definito positivo, come quello presente in uno spazio euclideo, ha segnatura , mentre lo spazio-tempo di Minkowski (fondamentale nella teoria della relatività) ha segnatura oppure , a seconda delle convenzioni.
Definizione Sia una matrice simmetrica reale (cioè i cui valori sono numeri reali). La segnatura di è una terna di numeri naturali definita nel modo seguente: i valori e sono rispettivamente il numero di autovalori positivi, negativi e nulli di , ciascuno è contato con la sua molteplicità algebrica.
Se è un prodotto scalare su uno spazio vettoriale di dimensione finita, la segnatura di è definita come la segnatura della matrice che rappresenta rispetto ad una qualsiasi base. Grazie al teorema di Sylvester, questa definizione non dipende dalla base scelta.
Notazioni alternative Nei casi in cui , vengono spesso usate notazioni differenti per la segnatura. Innanzitutto, il termine è omesso, e si parla di segnatura come coppia di numeri. In alternativa, la segnatura è descritta scrivendo i segni "" e "" rispettivamente e volte. Quindi si scrive per , cioè , e per , cioè . Queste sono le notazioni usate ad esempio nella relatività ristretta e generale. Oppure si può usare anche un singolo numero .
Proprietà Teorema spettrale Per il teorema spettrale, una matrice simmetrica reale è diagonalizzabile. In particolare, ha esattamente autovalori reali (contati con molteplicità). Quindi .
Teorema di Sylvester Per il teorema di Sylvester, due prodotti scalari sono isometrici se e solo se hanno la stessa segnatura. Quindi la segnatura è un invariante completo per i prodotti scalari, visti a meno di isometria. Analogamente, due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura.
Interpretazione geometrica degli indici I valori e sono detti indice di positività, negatività e nullità. L'indice di nullità è la dimensione del radicale di , oppure del nucleo di . Quindi un prodotto scalare non degenere ha segnatura .
Gli indici e sono la massima dimensione di un sottospazio su cui il prodotto scalare è rispettivamente definito positivo o negativo.
Esempi Matrici La segnatura della matrice identità è . Più in generale, la segnatura di una matrice diagonale è la terna formata dal numero di elementi positivi, negativi e nulli sulla diagonale principale.
Le matrici seguenti hanno entrambe segnatura , e sono quindi congruenti per il teorema di Sylvester:
Prodotti scalari Il prodotto scalare standard in ha segnatura . Un prodotto scalare ha questa segnatura se e solo se è definito positivo.
Un prodotto scalare definito negativo ha segnatura . Un prodotto scalare semidefinito positivo ha segnatura , ed uno semidefinito negativo .
Lo spazio-tempo di Minkowski è con il prodotto scalare definito dalla matrice:
ed ha quindi segnatura . Alcuni autori usano la matrice con i segni opposti, ottenendo la segnatura .
Calcolo della segnatura Per calcolare la segnatura di una matrice (simmetrica) sono disponibili alcune tecniche. Poiché il polinomio caratteristico ha tutte le radici reali, il loro segno può essere determinato con la regola dei segni di Cartesio. L'algoritmo di Lagrange fornisce un metodo per calcolare una base ortogonale, e quindi per calcolare una matrice diagonale congruente (e quindi con la stessa segnatura) a quella data: la segnatura di una matrice diagonale si ottiene quindi contando i segni dei valori sulla diagonale. Per il criterio di Sylvester, una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se i determinanti dei suoi minori principali sono tutti positivi.
Note
Bibliografia
Voci correlate Congruenza fra matrici Forma sesquilineare Matrice simmetrica Prodotto scalare Teorema di Sylvester Teorema spettrale
Collegamenti esterni
Categoria:Algebra lineare