In algebra astratta, un gruppo abeliano si dice finitamente generato se esiste un numero finito di elementi tale che ogni elemento di può essere scritto come combinazione lineare a coefficienti interi di tali elementi, cioè per ogni esistono tali che . In altri termini, è uno -modulo e ne è un insieme di generatori.

I gruppi abeliani finitamente generati sono analoghi a spazi vettoriali di dimensione finita, ma a differenza di questi ultimi non hanno necessariamente una base. Se il sottogruppo di torsione non è banale, cioè esistono elementi di ordine finito, la base non può esisterePoiché in tal caso i generatori non possono essere linearmente indipendenti. Infatti, se per un certo , e , allora , dove i coefficienti sono non tutti nulli.. In caso contrario, una base esiste e il gruppo è detto gruppo abeliano libero (cioè uno -modulo libero).

I gruppi abeliani finiti sono un caso particolare di gruppi abeliani finitamente generati.

Esempi

Il gruppo dei numeri interi è abeliano finitamente generato. Il gruppo dei numeri interi modulo Tale gruppo può essere denotato anche , ma per compatezza si preferisce la prima notazione in questo articolo. è abeliano finitamente generato. Il prodotto diretto di un numero finito di gruppi abeliani finitamente generati è abeliano finitamente generato.

A meno di isomorfismo, gli unici gruppi abeliani finitamente generati sono di una di queste tre tipologie. In altre parole, sono isomorfi a prodotti diretti di un numero finito di gruppi ciclici di ordine infinito e gruppi ciclici di ordine finito. Il teorema fondamentale descrive questo risultato in termini più precisi. Alcuni casi particolari sono:

I reticoli di rango , isomorfi a . I gruppi ciclici di ordine , isomorfi a .

Classificazione Il teorema fondamentale dei gruppi abeliani finitamente generati descrive la struttura di tali gruppi in due possibili forme, entrambe prodotto direttoPoiché i gruppi abeliani seguono la notazione additiva, si può parlare equivalentemente di somma diretta. di un numero finito di copie di e di un numero finito di gruppi ciclici di ordine finito.

La decomposizione primaria è:

dove è chiamato rango, e i numeri sono potenze di numeri primi, non sono necessariamente distinti, e sono chiamati divisori elementari.

La decomposizione per invarianti è

dove (rango) e i numeri sono , dividono ciascuno il successivo, cioè per , e sono detti invarianti o coefficienti di torsione.

Unicità e equivalenza Entrambe le rappresentazioni sono uniche a meno dell'ordine dei fattori, perciò e sono univocamente determinati a partire dal gruppo . Inoltre, le due decomposizioni sono equivalenti: per passare da una all'altra, è sufficiente fattorizzare gli invarianti in potenze di primi, o viceversa raggruppare le potenze di primi in invarianti, e utilizzare, per e coprimi. il teorema cinese del resto.

Dimostrazione L'idea della dimostrazione consiste nel considerare l'omomorfismo che manda tuple di "coordinate" nelle rispettive combinazioni lineari di generatori. Cioè, fissato l'insieme di generatori , si considera l'omomorfismo definito da . Questo è un isomorfismo se e solo se l'insieme di generatori è una base (cioè quando è un gruppo abeliano libero).

Nel caso generale, si considera il nucleo di , che è un sottogruppo di , e un suo insieme di generatori. Costruita la matrice che ha come righe tali generatori, si effettuano le seguenti operazioni elementari su righe e colonneLe operazioni su righe consistono nel trovare nuovi generatori per il nucleo, mentre quelle su colonne consistono in un cambio di variabili in .:

scambiare due righe (o colonne) tra loro cambiare il segno di una riga (o colonna) aggiungere un multiplo intero di una riga (colonna) a un'altra riga (colonna)

Seguendo questa procedura si trova una matrice diagonale, chiamata forma normale di Smith, i cui elementi della diagonale consistono, in ordine, di un certo numero di , di un certo numero di tali che , e di un certo numero di . Ne segue che .

Allora, per il primo teorema di isomorfismo, .

Conseguenze e generalizzazioni

Ogni gruppo abeliano finitamente generato si spezza nel prodotto diretto del suo sottogruppo di torsione, che è prodotto diretto di gruppi ciclici finiti, e del gruppo abeliano libero . Un gruppo abeliano libero è sempre isomorfo a per un certo , poiché il suo sottogruppo di torsione è banale. Tuttavia, un gruppo il cui sottogruppo di torsione è banale, non è necessariamente abeliano libero, a meno che non sia finitamente generato. Un controesempio è infatti . Un gruppo finito è sempre isomorfo a un prodotto diretto di gruppi ciclici finiti, poiché coincide con il suo sottogruppo di torsione. In altre parole, il teorema precedente generalizza il teorema fondamentale dei gruppi abeliani finiti. Il teorema è generalizzato dal teorema fondamentale dei moduli finitamente generati su domini a ideali principali.

Note

Bibliografia

Voci correlate

Gruppo abeliano Modulo Glossario di teoria dei gruppi

Categoria:Teoria dei gruppi