In algebra, un polinomio multilineare è un polinomio multivariato che è lineare (nel senso delle trasformazioni affini ma non nel senso delle trasformazioni lineari) in ciascuna delle sue variabili separatamente, ma non necessariamente simultaneamente. In altri termini, esso è un polinomio in cui nessuna variabile compare elevata a una potenza maggiore o uguale a : cioè, ogni monomio è una costante moltiplicata per il prodotto di variabili distinte. Per esempio è un polinomio multilineare di grado (a causa del monomio ) mentre non lo è. Il grado di un polinomio multilineare è il numero massimo di variabili distinte che sono presenti in ciascun monomio.

Definizione La forma generale di un polinomio multilineare può essere scritta come una contrazione tensoriale:

Ad esempio, in due variabili:

Proprietà Un polinomio multilineare è lineare (nel senso di funzione affine di una variabile anche se non è una funzione lineare) quando varia una sola variabile :

dove e non sono dipendenti da . Si noti che generalmente non è zero, quindi è lineare nel senso di "ha forma di linea" (qui "linea" va inteso come "retta"), ma non nel senso di "direttamente proporzionale" di una funzione multilineare.

Tutte le derivate parziali seconde ripetute sono zero:

In altri termini, la sua matrice hessiana è una matrice cava (ossia gli elementi della diagonale principale sono tutti zero) simmetrica.

In particolare, il Laplaciano , dunque è una funzione armonica. Ciò implica che ha massimi e minimi solo sul confine del proprio dominio.

Più in generale, ogni restrizione di a un sottoinsieme delle sue coordinate è anche multilineare, quindi vale ancora quando una o più variabili sono fisse. In altre parole, è armonico su ogni "fetta" del dominio lungo gli assi coordinati.

Su un dominio rettangolare Quando il dominio è rettangolare negli assi coordinati (ad esempio in un ipercubo), avrà massimi e minimi solo sui vertici del proprio dominio, cioè l'insieme finito degli punti aventi i valori delle coordinate minimi e massimi. Il valore della funzione su questi punti determina in modo completo la funzione, poiché il valore sui bordi del confine può essere trovato tramite interpolazione lineare, e il valore sul resto del confine e all'interno è fissato dall'equazione di Laplace, .

Il valore del polinomio in un punto arbitrario può essere ottenuto mediante interpolazione lineare ripetuta lungo ciascun asse delle coordinate. Equivalentemente, tale valore del polinomio è una media pesata dei valori dei vertici, dove i pesi sono i polinomi di interpolazione di Lagrange. Questi pesi costituiscono anche un insieme di coordinate baricentriche generalizzate per l'iperrettangolo. Geometricamente, tale punto divide il dominio in iperrettangoli più piccoli, e il peso di ogni vertice è il volume (frazionario) dell'iperrettangolo opposto.

Algebricamente, l'interpolante multilineare sull'iperrettangolo è:

dove la somma è presa sui vertici . Equivalentemente,

dove è il volume dell'iperrettangolo.

Il valore al centro è la media aritmetica dei valori ai vertici, che è anche la media sul confine del dominio e la media sulla parte interna. Le componenti del gradiente al centro sono proporzionali al bilanciamento dei valori dei vertici lungo ciascun asse delle coordinate.

I valori dei vertici e i coefficienti del polinomio sono correlati da una trasformazione lineare (in particolare, una trasformata di Möbius se il dominio è l'ipercubo unitario e una trasformata di Walsh-Hadamard-Fourier se il dominio è l'ipercubo simmetrico ).

Applicazioni I polinomi multilineari sono gli interpolatori dell'interpolazione multilineare o -lineare su una griglia rettangolare, una generalizzazione dell'interpolazione lineare, bilineare e trilineare a un numero arbitrario di variabili. Questa è una forma specifica di interpolazione multivariata, da non confondere con l'interpolazione lineare a tratti. Il polinomio risultante non è una funzione lineare delle coordinate (il suo grado può essere maggiore di 1), ma è una funzione lineare dei valori dei dati adattati.

Il determinante, il permanente e gli altri immanenti di una matrice sono polinomi multilineari omogenei negli elementi della matrice (e anche forme multilineari nelle righe o nelle colonne).

I polinomi multilineari in variabili formano uno spazio vettoriale dimensionale , che è anche la base utilizzata nell'analisi di Fourier delle funzioni (pseudo-)booleane. Ogni funzione (pseudo-)booleana può essere espressa in modo univoco come un polinomio multilineare (fino a una scelta di dominio e codominio).

I polinomi multilineari sono importanti nello studio dei test di identità polinomiale. Section 1.3.

Note

Categoria:Polinomi