In fisica computazionale, uno stato prodotto di matrici, detto anche MPS (dall'acronimo inglese di Matrix Product State), è una rappresentazione di uno stato quantistico come prodotto di matrici.

Dato uno stato puro di particelle, esso può essere decomposto come:

dove ciascuna è una matrice di dimensione , legati alla dimensione del legame tra l'indice e .

La rappresentazione MPS è impiegata in fisica dello stato solido per trovare lo stato fondamentale di sistemi quantistici di spin dai molti corpi, attraverso algoritmi quali DMRG e TEBD.

Descrizione Una rappresentazione analoga agli MPS è stata introdotta inizialmente da Michael Fannes, Bruno Nachtergaele e Reinhard F. Werner nel 1992, per poi essere largamente diffuso grazie ai contributi di Stellan Östlund and Stefan Rommer. L'idea alla base di questo metodo è di riscrivere uno stato quantistico complesso, come una serie di prodotti di matrici per ciascuna particella del sistema. Gli indici sono detti virtuali, ed entrano in gioco nella moltiplicazione di matrici adiacenti, mentre gli indici sono detti fisici, perché possono interagire con i vari operatori fisici.

Qualsiasi stato può sempre essere convertito in forma di MPS, andando a effettuare una serie ripetuta di decomposizioni ai valori singolari. In questo caso spesso conviene limitare la dimensione massima del legame, andando dunque a scartare i coefficienti della decomposizione più piccoli. Questo perché il valore di necessario per avere una rappresentazione esatta dello stato cresce esponenzialmente con la dimensione del sistema . Ciononostante, il fatto che lo stato fondamentale per Hamiltoniane discrete obbedisce una legge d'area fa sì che l'approssimazione risulti buona anche per alti gradi di compressione. Forma canonica La rappresentazione MPS di uno stato non è unica. È infatti sempre possibile inserire tra due matrici ed (con matrice unitaria), e ridefinire . Ciò suggerisce la definizione di una forma canonica per lo stato, in cui ciascun legame corrisponde a una decomposizione di Schmidt

dove ciascuna è una matrice diagonale che contiene i coefficienti di Schmidt. È ora possibile raggruppare le matrici e definire i tensori:

.

Una MPS scritta unicamente da tensori è detta in forma canonica di sinistra, una scritta unicamente con è detta in forma canonica di destra, mentre se compaiono entrambi si denomina con forma mista.

Valori d'aspettazione Il vantaggio di scrivere lo stato in forma canonica è rappresentato dalla possibilità di calcolare il valore d'aspettazione di un operatore locale tramite la semplice contrazione delle matrici interessate. Data una MPS bipartita in , in cui tutte le matrici alla destra dell'-esimo sito sono scritte in forma , mentre tutte quelle a sinistra come , definiamo gli stati bipartiti

.Le relazioni di ortonormalità impongono

il che si traduce nella possibilità di calcolare semplicemente contraendo i tensori e .

Note

Bibliografia

Voci correlate Quantum Monte Carlo

Categoria:Fisica computazionale Categoria:Fisica della materia condensata