Biografia Evnevič è nato nel 1951 a Batumi, nell'allora Repubblica Socialista Sovietica Autonoma d'Agiaria. Dopo essersi diplomato nel 1968 al liceo di Staryj Krym, in Crimea, ha intrapreso la carriera militare. In seguito alla specializzazione conseguita nel 1972 presso la Scuola Superiore di Comando Aviotrasportato di Rjazan' ha prestato servizio in diversi reparti di addestramento paracadutisti della 44ª Divisione aviotrasportata di stanza nella RSS Lituana. Nel giugno 1983, dopo il diploma con lode presso l'Accademia militare "M.V. Frunze", è diventato capo di stato maggiore del 217º Reggimento della 98ª Divisione aviotrasportata delle guardie. Da gennaio 1986 è stato vice comandante e, da agosto 1987, comandante della 56ª Brigata d'assalto aereo delle guardie, parte del contingente sovietico impegnato nella guerra in Afghanistan. Ha guidato la brigata fino all'agosto del 1990, restando di stanza a Ýolöten dopo il ritiro delle truppe sovietiche dall'Afghanistan. Fra il 1990 e il 1992 ha studiato presso l'Accademia militare dello Stato maggiore delle Forze armate della Federazione Russa.
Nel giugno 1992 è stato nominato comandante della 2ª Divisione fucilieri motorizzata delle guardie, guidandola durante la crisi costituzionale russa del 1993. Diverse fonti affermano che abbia diretto personalmente le unità corazzate che hanno sparato contro la Casa Bianca, la residenza ufficiale del Governo della Federazione Russa. Tuttavia, Evnevič negò la presenza di carri armati nella Divisione "Taman" durante il cannoneggiamento della Casa Bianca e ricordò l'intensa pressione emotiva e psicologica di quel momento: "Per me, ad esempio, quelle 24 ore a Mosca valgono due anni e mezzo di Afghanistan e quello che è seguito per la mia brigata: Asia Centrale, Armenia. Anche lì ci fu molto spargimento di sangue". Il 7 ottobre 1993 Boris El'cin gli conferì il titolo di Eroe della Federazione Russa per la sua partecipazione all'assalto alla Casa Bianca.
Nel giugno 1995 è stato nominato comandante del Gruppo Operativo delle Forze Armate Russe in Transnistria, sostituendo il generale Aleksandr Lebed'. Ha ricoperto questo incarico fino al gennaio 2002; durante questo periodo in contingente russo è stato ridotto a tre battaglioni e gran parte dell'equipaggiamento militare è stato distrutto o ritirato in Russia. Successivamente è stato nominato vice comandante delle Forze terrestri russe e responsabile delle operazioni di mantenimento della pace, e ha supervisionato le missioni di peacekeeping russe in Kosovo, Bosnia-Erzegovina, Transnistria, Abcasia e Tagikistan. Il 15 luglio 2006 Evnevič è stato trattenuto per diverse ore dalla polizia militare della Georgia nei pressi della città di Gori. Il Ministero degli affari esteri russo valutò la sua detenzione come una provocazione volta a inasprire ulteriormente le tensioni nella regione. Le autorità georgiane riconobbero che la detenzione violava il diritto internazionale, ma osservarono anche che la visita di Evnevič nella zona di conflitto non era stata coordinata con la parte georgiana. Commentando il dispiegamento delle forze armate georgiane nella gola di K'odori il 25 luglio 2006, Evnevič dichiarò che, a suo avviso, l'obiettivo dell'operazione era quello di creare un trampolino di lancio per un'avanzata verso Sukhumi: in altre parole, la preparazione alla guerra contro l'Abcasia.
Da luglio 2009 è stato capo della Direzione principale dell'addestramento al combattimento delle Forze armate russe. L'11 giugno 2011, poco dopo essere stato nominato assistente del ministro della difesa, è stato promosso a colonnello generale. Il 2 dicembre 2013 è stato nominato a capo della rappresentanza militare permanente della Russia presso la NATO. Il 3 aprile 2014 è stato richiamato a Mosca "per consultazioni". Non ricevette alcuna nuova nomina e nel giugno 2014 venne rimosso dall'incarico e trasferito alla riserva. Dall'agosto del 2014 è consulente del direttore generale di LUKOIL-Rezervnefteprodukt LLC.
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