Nella matematica ricreativa, il biliardo aritmetico fornisce un metodo geometrico per determinare il minimo comune multiplo (mcm) e il massimo comun divisore (MCD) di due numeri naturali. Questo metodo fa uso delle riflessioni all'interno di un rettangolo i cui lati hanno le lunghezze dei due numeri dati. Si tratta di un semplice esempio di analisi delle traiettorie utilizzata nei biliardi dinamici.

I biliardi aritmetici possono essere utilizzati per mostrare visivamente come due numeri interagiscono tra loro. Disegnando dei quadrati all'interno di un rettangolo con base e altezza pari ai due numeri naturali, il lettore può comprendere meglio la relazione tra di essi. Due interi coprimi interagiscono con ogni quadrato unitario all'interno del rettangolo.

Proprietà

"Biliardo aritmetico" è il nome dato al processo per trovare sia il mcm che il MCD di due numeri interi utilizzando un metodo geometrico. Prende il nome dalla sua somiglianza con il movimento di una palla da biliardo.

Per creare un biliardo aritmetico, si disegna un rettangolo con una base pari al numero più grande e un'altezza pari al numero più piccolo. Partendo dall'angolo in basso a sinistra con un angolo di 45°, si traccia un percorso finché non colpisce un lato del rettangolo. Ogni volta che il percorso incontra il lato, rimbalza (si riflette) mantenendo lo stesso angolo (il percorso compie una svolta a 90º a destra o a sinistra). Alla fine (cioè dopo un numero finito di riflessioni), la traiettoria colpisce un angolo del rettangolo e lì si ferma.

Quando le linee si incrociano, il percorso diventa uno zigzag costituito da uno o più segmenti. Altrimenti, il percorso presenta delle auto-intersezioni ed è costituito da segmenti di varia lunghezza in due direzioni ortogonali. In generale, il percorso è l'intersezione del rettangolo con una griglia di quadrati (orientata a 45º rispetto ai lati del rettangolo).

Caratteristiche

Dato un rettangolo a forma di tavolo da biliardo, siano e le lunghezze dei lati. Questo può essere diviso in quadrati unitari. Il minimo comune multiplo corrisponde al numero di quadrati unitari attraversati dalla traiettoria del biliardo aritmetico o, in modo equivalente, alla lunghezza del percorso divisa per .

Supponiamo che nessuna delle due lunghezze dei lati divida esattamente l'altra. In tal caso, il primo segmento del percorso del biliardo aritmetico contiene il punto di auto-intersezione più vicino al punto di partenza. Il massimo comun divisore è il numero di quadrati unitari attraversati dal primo segmento del percorso fino a quel punto di auto-intersezione. Il percorso attraversa ogni singolo quadrato unitario se e solo se e sono interi coprimi (ovvero hanno un MCD pari a 1).

Il numero di punti di rimbalzo della traiettoria sui due lati di lunghezza è pari a , e similmente è pari a sui due lati di lunghezza . In particolare, se e sono coprimi, il numero totale di punti di contatto tra il percorso e il perimetro del rettangolo (cioè i punti di rimbalzo più l'angolo iniziale e quello finale) è pari ad .

Langolo finale in cui termina il percorso è opposto all'angolo di partenza se e solo se e sono divisibili esattamente per la stessa potenza di due (ad esempio, se sono entrambi dispari); in caso contrario, si tratta di uno dei due angoli adiacenti, a seconda che o abbia più fattori pari a nella sua scomposizione in fattori primi. Il percorso è simmetrico se l'angolo di partenza e quello finale sono opposti. Il percorso presenta una simmetria centrale rispetto al centro del rettangolo, altrimenti è simmetrico rispetto alla bisettrice del lato che collega l'angolo di partenza a quello di arrivo.

I punti di contatto tra la traiettoria del biliardo e il perimetro del rettangolo sono distribuiti uniformemente: la distanza lungo il perimetro (eventualmente girando attorno a un angolo) tra due punti adiacenti di questo tipo è pari a . Impostando le coordinate del rettangolo in modo che il punto di partenza sia e l'angolo opposto sia , qualsiasi punto sul percorso del biliardo avente coordinate intere ha la proprietà che la somma delle sue coordinate è un numero pari (la parità non può cambiare spostandosi lungo le diagonali dei quadrati unitari). I punti di auto-intersezione del percorso, i punti di rimbalzo e gli angoli di partenza e arrivo sono esattamente i punti del rettangolo le cui coordinate sono multipli del e la cui somma è un multiplo pari del .

Immagini speculari

Consideriamo un quadrato di lato . Affiancando più copie del rettangolo originale (con simmetria speculare), il percorso del biliardo aritmetico può essere visualizzato come la diagonale di tale quadrato. In altre parole, si può pensare di riflettere l'intero rettangolo anziché i segmenti della traiettoria. È comodo ridimensionare il rettangolo dividendo e per il loro massimo comun divisore, un'operazione di scala che non altera la geometria del percorso (es. non cambia il numero di punti di rimbalzo). Se la traiettoria sta attraversando un particolare quadrato unitario (in una specifica direzione), non c'è alcun dubbio su da quale quadrato unitario e da quale direzione provenga.

Una generalizzazione

Se si permette che il punto di partenza della traiettoria sia un qualsiasi punto del rettangolo avente coordinate intere, si originano anche percorsi periodici, a meno che i lati del rettangolo non siano coprimi. La lunghezza di qualsiasi percorso periodico è pari a .

Ulteriori informazioni Sia Hugo Steinhaus che Martin Gardner hanno trattato i biliardi aritmetici come giochi matematici. Gli insegnanti utilizzano a volte i biliardi aritmetici per spiegare il MCD e il mcm. In ambito anglosassone, l'attività viene talvolta chiamata "Paper Pool" (biliardo su carta), con riferimento al popolare gioco del biliardo americano (pool). Questi modelli sono stati utilizzati anche come spunto per problemi all'interno dei circoli matematici.

Note

Collegamenti esterni

Categoria:Matematica ricreativa