In matematica si dice numero automorfo o anche intero automorfo un intero positivo in una data base il cui quadrato ha per cifre meno significative ("termina per") l'intero stesso.
Esempi In base decimale:
In base 6:
In base arbitraria Dalla definizione segue che, data una base , un intero positivo di cifre è un numero automorfo se
in cui è un numero che termina con zeri, sui quali l'addizione inserisce .
I numeri automorfi possono essere trovati dalla loro definizione risolvendo negli interi l'equazione
equivalente alla congruenza
Esistenza e numero di interi automorfi La scrittura in forma di congruenza permette di notare che 0 e 1 sono soluzioni indipendentemente dalla base.
Per cercare ulteriori soluzioni, si può notare che (né suoi multipli) può essere assegnato interamente a o perché si avrebbe o e in entrambi i casi avrebbe non ma cifre.
Dunque i fattori di devono essere ripartiti tra e . Poiché due numeri consecutivi non possono avere fattori in comune (la loro differenza a sua volta conterrebbe tali fattori e dunque non potrebbe essere 1), i fattori di e devono essere ripartiti in modo che e siano relativamente primi. Questo è possibile solo se la base è scomponibile in almeno due fattori diversi. Quindi non esistono numeri automorfi (diversi da quelli banali 0 e 1, che esistono in ogni base) nelle basi prime o potenze di un unico primo. Siano dunque e , dove i prodotti e sono relativamente primi. Deve essere (che è il numero automorfo cercato) e . Per sostituzione della prima nella seconda si ha l'identità di Bézout
Analogamente si ottiene il numero automorfo dall'identità
Ciascuna di queste identità, in cui e sono note e e sono incognite, ammette una soluzione unica (modulo per e modulo per ), ricavabile con l'algoritmo di Euclide, perché e (e quindi e ) sono coprimi. Quindi, per ogni numero di cifre , esistono due automorfi (dati da e ) per ogni modo di ripartire la base in due gruppi primi tra loro di fattori. Il prodotto dà la parte iniziale del quadrato del numero automorfo, quadrato che termina in .
Esempio In base 30 i fattori della base (2, 3 e 5) possono essere ripartiti in sei modi: e , e , e e le stesse tre coppie a fattori invertiti. Si ottengono gli automorfi di una cifra 6, 10, 15, 16, 21 e 25 (espressi in notazione decimale), di due cifre 100, 225, 325, 576, 676 e 801, e così via. Per esempio,
Proprietà
Somma di coppie di autovalori Si dimostra inoltre che la somma di ogni coppia di automorfi così ottenuta è . Infatti, dette e le soluzioni della prima identità di Bézout, si ha
La seconda identità
può essere riscritta come
dalla quale si nota per paragone con la prima identità di Bézout (e ricordando che le soluzioni del coefficiente di sono note modulo ) che Poiché si cercano soluzioni di cifre, il loro valore deve essere compreso tra 0 e , e si ha
Dunque la prima identità dà il primo automorfo , mentre la seconda dà il secondo automorfo della coppia
La loro somma è
dove si è usata la prima identità di Bézout e
Residui modulo fattori della base Considerando l'equazione
si ottiene la congruenza
Inoltre
Analogamente, dalla seconda identità di Bézout, si hanno
e
Quindi un numero automorfo è congruente a 0 e 1 modulo i due gruppi di fattori della base nei quali essa è suddivisa.
Costruzione di un automorfo in base quadrato della base di un altro automorfo A partire da un numero automorfo di cifre, si costruisce un numero automorfo di cifre mediante la formula:
Dimostrazione: se è un automorfo di cifre, è possibile trovare un intero tale per cui . Sostituendo l'espressione di e fattorizzando si ottiene . Poiché per ipotesi è un automorfo di cifre, esiste un intero tale per cui . Sostituendo nella precedente equazione si ottiene e, semplificando , si giunge a . Dunque esiste tale per cui e è automorfo.
In base decimale Poiché la base 10 può essere suddivisa solo in , per ogni numero di cifre esistono esattamente due numeri automorfi di cifre (5 e 6 per (una cifra); 25 e 76 per ; 376 e 625 per ; ...). Uno di essi gode delle proprietà e ; l'altro delle proprietà e . La somma di questi due numeri è (5+6=11; 25+76=101; 376+625=1001; ...).
Partendo da 76, che è un automorfo di due cifre, si può calcolare un automorfo di quattro cifre da . Si ha
La seguente sequenza di 1000 cifre consente di individuare un numero automorfo di cifre per
12781254001336900860348890843640238757659368219796\ 26181917833520492704199324875237825867148278905344\ 89744014261231703569954841949944461060814620725403\ 65599982715883560350493277955407419618492809520937\ 53026852390937562839148571612367351970609224242398\ 77700757495578727155976741345899753769551586271888\ 79415163075696688163521550488982717043785080284340\ 84412644126821848514157729916034497017892335796684\ 99144738956600193254582767800061832985442623282725\ 75561107331606970158649842222912554857298793371478\ 66323172405515756102352543994999345608083801190741\ 53006005605574481870969278509977591805007541642852\ 77081620113502468060581632761716767652609375280568\ 44214486193960499834472806721906670417240094234466\ 19781242669078753594461669850806463613716638404902\ 92193418819095816595244778618461409128782984384317\ 03248173428886572737663146519104988029447960814673\ 76050395719689371467180137561905546299681476426390\ 39530073191081698029385098900621665095808638110005\ 57423423230896109004106619977392256259918212890625
Qui il segno backslash (\) segnala che la scrittura decimale continua nella linea successiva. Basta prendere la sequenza delle ultime cifre, e l'altro numero si ottiene sottraendo da il numero suddetto.
Tavole dei numeri automorfi in base decimale n n2 5 25 25 625 625 390625 90625 8212890625 890625 793212890625 2890625 8355712890625 12890625 166168212890625 212890625 45322418212890625 8212890625 67451572418212890625 18212890625 331709384918212890625 918212890625 843114912509918212890625 9918212890625 98370946943759918212890625 59918212890625 3590192236006259918212890625 259918212890625 67557477392256259918212890625 6259918212890625 39186576032079756259918212890625 56259918212890625 3165178397321142256259918212890625 256259918212890625 65669145682477392256259918212890625 2256259918212890625 5090708818534039892256259918212890625 92256259918212890625 8511217494096854352392256259918212890625 392256259918212890625 153864973445024588727392256259918212890625 7392256259918212890625 54645452612300005057477392256259918212890625 77392256259918212890625 5989561329000849809744977392256259918212890625 977392256259918212890625 955295622596853633012869977392256259918212890625 9977392256259918212890625 99548356235275381465044119977392256259918212890625 19977392256259918212890625 399096201360473745722856619977392256259918212890625 619977392256259918212890625 384371966908872375601191606619977392256259918212890625 6619977392256259918212890625 43824100673983991394155879106619977392256259918212890625 106619977392256259918212890625 11367819579125235975036734004106619977392256259918212890625 4106619977392256259918212890625 16864327638717175315320739859004106619977392256259918212890625 9004106619977392256259918212890625 81073936023920699329853843152771109004106619977392256259918212890625 109004106619977392256259918212890625 11881895260019399150581837485730896109004106619977392256259918212890625 6109004106619977392256259918212890625 37319931174699748106225700856040418396109004106619977392256259918212890625 96109004106619977392256259918212890625 9236940670366295678712352486134360730896109004106619977392256259918212890625 896109004106619977392256259918212890625 803011347240958259506322368355274985730896109004106619977392256259918212890625 30896109004106619977392256259918212890625 954569551593638156903041697963448048423230896109004106619977392256259918212890625 230896109004106619977392256259918212890625 53313013153236286147859944201930733204673230896109004106619977392256259918212890625 3230896109004106619977392256259918212890625 10438689667177876006012213481761440010548423230896109004106619977392256259918212890625 23230896109004106619977392256259918212890625 539674534027342140805107903732158168526173423230896109004106619977392256259918212890625
n n2 6 36 76 5776 376 141376 9376 87909376 109376 11963109376 7109376 50543227109376 87109376 7588043387109376 787109376 619541169787109376 1787109376 3193759921787109376 81787109376 6689131260081787109376 40081787109376 1606549657881340081787109376 740081787109376 547721051611007740081787109376 3740081787109376 13988211774267263740081787109376 43740081787109376 1913194754743017343740081787109376 743740081787109376 553149309256696143743740081787109376 7743740081787109376 59965510454276227407743740081787109376 607743740081787109376 369352453608598807478607743740081787109376 2607743740081787109376 6800327413935747244982607743740081787109376 22607743740081787109376 511110077017207231620022607743740081787109376 80022607743740081787109376 6403617750108490103144731780022607743740081787109376 380022607743740081787109376 144417182396352539175410357380022607743740081787109376 3380022607743740081787109376 11424552828858793029898066613380022607743740081787109376 893380022607743740081787109376 798127864794612716138610952755893380022607743740081787109376 5893380022607743740081787109376 34731928090872050116956482046515893380022607743740081787109376 995893380022607743740081787109376 991803624372854204655478894958610995893380022607743740081787109376 90995893380022607743740081787109376 8280252612028442248077870200574646290995893380022607743740081787109376 890995893380022607743740081787109376 793873682020064614638062001059949647890995893380022607743740081787109376 3890995893380022607743740081787109376 15139849042300200261100502491782605903890995893380022607743740081787109376 103890995893380022607743740081787109376 10793339027718304721809848518849204481103890995893380022607743740081787109376 9103890995893380022607743740081787109376 82880831265108558711661197169991017173249103890995893380022607743740081787109376 69103890995893380022607743740081787109376 4775347750772314161424590445979805470298369103890995893380022607743740081787109376 769103890995893380022607743740081787109376 591520795145023046193075431682094307423424769103890995893380022607743740081787109376 6769103890995893380022607743740081787109376 45820767487095743606464368356563075752735936769103890995893380022607743740081787109376 76769103890995893380022607743740081787109376 5893495312226520816809629452480174525948048576769103890995893380022607743740081787109376
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