In matematica, e in particolare in algebra lineare, l'ortogonalizzazione Gram-Schmidt è un algoritmo che permette di ottenere un insieme di vettori ortogonali a partire da un generico insieme di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale dotato di un prodotto scalare definito positivo..
Storia Il procedimento è così chiamato in onore del matematico danese Jørgen Pedersen Gram (1850-1916) e del matematico tedesco Erhard Schmidt (1876-1959); esso però è stato introdotto precedentemente ai loro studi e si trova in lavori di Laplace e Cauchy.
Quando si implementa l'ortogonalizzazione su un computer, al processo di Gram-Schmidt di solito si preferisce la trasformazione di Householder, in quanto questa è numericamente più stabile, cioè gli errori causati dall'arrotondamento sono minori.
L'algoritmo Sia uno spazio vettoriale reale con un prodotto scalare definito positivo. Siano vettori linearmente indipendenti in . L'algoritmo di Gram-Schmidt restituisce vettori linearmente indipendenti tali che:
e
In altre parole, i vettori restituiti sono ortonormali, ed i primi generano lo stesso sottospazio dei primi vettori iniziali.
Procedimento La proiezione ortogonale è la funzione che "proietta" il vettore in modo ortogonale su :.
Il procedimento di Gram–Schmidt permette di costruire una base ortogonale a partire da una base generica . Per calcolare si proietta ortogonalmente sul sottospazio generato da . Si definisce allora come differenza tra e questa proiezione, in modo che risulta garantito che esso sia ortogonale a tutti i vettori nel sottospazio . Normalizzando poi la base ortogonale (cioè dividendo ogni vettore che la compone per la propria norma ) si ottiene una base ortonormale dello spazio..
Nello specifico:
dove è la base normalizzata.
Una verifica immediata della correttezza del procedimento eseguito, ovvero che si è ottenuto un insieme di vettori mutuamente ortogonali, è il calcolo del prodotto scalare fra e .
Generalizzazioni Il processo di Gram-Schmidt si applica anche ad una successione infinita di vettori linearmente indipendenti. Il risultato è sempre una successione di vettori ortogonali e con norma unitaria, tale che:
Scrittura per mezzo del determinante Il risultato del procedimento di Gram-Schmidt può essere espresso in modo non ricorsivo utilizzando il determinante:
dove , e per si indica con il determinante della matrice di Gram:
Esempio Dati i vettori e nel piano euclideo munito del prodotto scalare standard, applicando il procedimento di Gram-Schmidt si ha:
ottenendo i vettori e che sono ortogonali fra loro, come mostra il loro prodotto scalare:
Note
Bibliografia
F.R. Gantmacher, The theory of matrices , 1 , Chelsea, reprint (1977) A.G. Kurosh, Higher algebra , MIR (1972)
Voci correlate Algoritmo di Lagrange Prodotto scalare Teorema di Sylvester Teorema spettrale
Collegamenti esterni
Proof: Raymond Puzio, Keenan Kidwell. "proof of Gram-Schmidt orthogonalization algorithm" (version 8). PlanetMath.org.
Categoria:Algebra lineare