In matematica, la formula di Viète, così denominata in onore del matematico francese François Viète (1540-1603), è la seguente rappresentazione mediante prodotto infinito della costante matematica π:
L'espressione sulla destra deve essere intesa come espressione limite (per )
dove è il radicale quadratico dato dalla formula ricorsiva con condizione iniziale .
Dimostrazione
Consideriamo la formula di duplicazione per la funzione seno
.
Applichiamola due volte per esprimere il seno dell'angolo quadruplo . Applicandola reiteratamente si ottiene l'identità
valido per tutti gli interi positivi (la dimostrazione dettagliata si ottiene con lo schema di dimostrazione per induzione). Ponendo e dividendo entrambi i membri per si ottiene
Usando di nuovo la formula di duplicazione otteniamo
Nel caso particolare y = π si ottiene l'identità
Rimane da collegare i fattori del secondo membro di questa identità con i termini introdotti inizialmente. Utilizzando la formula della bisezione dell'angolo per il coseno,
se ne deriva che soddisfa la formula ricorsiva con condizione iniziale . Quindi per tutti gli interi positivi .
La Formula di Viète segue considerando il limite . Notiamo infatti che
come conseguenza del limite notevole .
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