thumb|upright=0.8|Il duale di un tetraedro è un altro tetraedro In geometria, il poliedro duale di un poliedro è un altro poliedro , tale che ad ogni vertice di corrisponde una ed una sola faccia di . In altre parole, lo si ottiene scambiando i ruoli dei vertici e delle facce di . Il duale di è di nuovo .
Se e hanno la stessa struttura combinatoria, è detto autoduale. Fra i 5 solidi platonici, il tetraedro è autoduale, mentre cubo e ottaedro sono uno duale dell'altro; anche icosaedro e dodecaedro sono uno duale dell'altro.
Il duale di un solido archimedeo è un solido di Catalan.
Definizioni Non esiste una definizione univoca di poliedro duale che funzioni per tutti i poliedri. Vi sono due nozioni, una combinatoria e l'altra metrica, che sono generalmente coincidenti nei poliedri più regolari. Dualità combinatoria Dal punto di vista combinatorio, due poliedri e sono duali se esiste una corrispondenza biunivoca fra gli insiemi di vertici, spigoli e facce di e che inverte le adiacenze. Più precisamente: associa rispettivamente ad un vertice, spigolo o faccia di una faccia, spigolo o vertice di ; Una faccia di incide su uno spigolo se e solo se lo spigolo incide sul vertice ; viceversa, uno spigolo incide su un vertice di se e solo se la faccia incide su . Questa dualità è detta dualità combinatoria. La dualità combinatoria non tiene conto delle grandezze metriche dei poliedri, e cioè dei loro volumi, delle lunghezze dei loro spigoli, o degli angoli formati da questi.
Se è un poliedro convesso, un duale combinatorio è ottenuto scegliendo un vertice all'interno di ogni faccia e prendendo l'inviluppo convesso di questi punti. Dal punto di vista metrico il duale dipende dalla scelta dei punti, ma non dal punto di vista combinatorio.
Dualità metrica Dal punto di vista metrico, due poliedri e sono duali se sono ottenuti l'uno dall'altro tramite inversione lungo una sfera . In questo caso si parla di dualità metrica.
Molti solidi, come i solidi regolari o i solidi archimedei, hanno un "centro" . In questo caso, il duale del solido è generalmente considerato il duale metrico secondo una qualsiasi sfera centrata in . Sfere con raggi diversi danno luogo a poliedri simili: il poliedro duale è quindi ben definito metricamente solo a meno di similitudine.
Poliedri duali Solidi platonici solido duale tetraedro 50pxtetraedro 50px cubo 50px ottaedro50px icosaedro 50px dodecaedro50px
Solidi archimedei solido duale tetraedro troncato 50px triacistetraedro50px cubo troncato 50pxtriacisottaedro50px ottaedro troncato 50px tetracisesaedro 50px cubottaedro 50px dodecaedro rombico50px rombicubottaedro 50pxicositetraedro trapezoidale50px cubottaedro troncato 50px esacisottaedro50px cubo simo 50px icositetraedro pentagonale50px dodecaedro troncato 50pxtriacisicosaedro 50px icosaedro troncato 50pxpentacisdodecaedro50px icosidodecaedro 50px triacontaedro rombico50px rombicosidodecaedro 50px esacontaedro trapezoidale50px icosidodecaedro troncato 50px esacisicosaedro50px dodecaedro simo 50pxesacontaedro pentagonale50px
Alcuni poliedri non convessi solido duale piccolo dodecaedro stellato 50px grande dodecaedro 50px grande dodecaedro stellato 50px grande icosaedro 50px
Dualità fra sfere geodetiche
sfera geodetica come triangolazione 200px sfera geodetica simile ad un'arnia 200px
Dualità dei solidi platonici 200px|duale del cubo200px|duale dell'ottaedroIl duale del cubo è l'ottaedroIl duale dell'ottaedro è il cubo250px|duale del dodecaedro250px|duale dell'icosaedroIl duale del dodecaedro è l'icosaedroIl duale dell'icosaedro è il dodecaedro
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