In matematica la funzione beta di Dirichlet, nota anche come funzione beta di Catalan, è una funzione speciale strettamente collegata alla funzione zeta di Riemann. È una particolare L-funzione di Dirichlet, la L-funzione per il carattere alternato di periodo quattro.
Definizione La funzione beta di Dirichlet è definita come
o anche
In entrambe le definizioni si assume che Re(s)>0.
È anche possibile definirla in termini della funzione zeta di Hurwitz valida nell'intero piano complesso s:
.
Equazione funzionale L'equazione funzionale estende la funzione beta al lato sinistro del piano complesso, cioè quello con Re(s)<0. È definita come
dove Γ(s) è la funzione Gamma.
Valori speciali Alcuni valori notevoli della funzione beta di Dirichlet sono:
,
,
,
dove K è la costante di Catalan, e
.
Più in generale, per ogni intero positivo k:
,
dove sono i numeri di Eulero. Per interi k ≤ 0, questa si estende in:
.
quindi la funzione si azzera per tutti i valori integrali negativi dispari dell'argomento.
Bibliografia M. Abramowitz e I. Stegun (eds.) Handbook of Mathematical Functions (US Governement Printing Office, 1964) p. 807
Voci correlate Funzione zeta di Hurwitz
Collegamenti esterni
Funzione Beta di Dirichlet MathWorld
Categoria:Funzioni speciali