Viene detto paradosso dei due bambini un celebre quesito della teoria della probabilità, apparentemente semplice ma in realtà ambiguo e il cui studio porta a una risposta controintuitiva. Esso è spesso citato per mettere in evidenza la facilità con la quale nell'ambito della probabilità può nascere confusione anche in contesti che a prima vista sembrano nient'affatto complicati da analizzare.

Il nome con cui viene chiamato comunemente questo problema viene dall'inglese: "Boy or Girl paradox".

Quesito Il quesito in questione è, in una delle prime formulazioni (proposta da Martin Gardner sulle pagine del Scientific American):

"Il signor Smith ha due bambini. Almeno uno dei due è un maschio. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?"

Vengono fatte le ipotesi semplificative che i due generi siano equiprobabili (in realtà nascono un po' più maschi) e che i generi dei due figli siano stocasticamente indipendenti ().

La risposta intuitiva è che se, poniamo, è maschio uno dei due bambini, la probabilità che anche l'altro lo sia è

Soluzione In realtà, come riconosciuto da Gardner stesso, la domanda è posta in modo ambiguo (è facile pensare che con "almeno uno" si intenda "sicuramente uno che ho chiaramente individuato - ed eventualmente anche l'altro"), e una possibile riformulazione, intuitivamente equivalente, che dia meno adito ad ambiguità è la seguente:

"Il signor Smith ha due bambini. Non sono due femmine. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?"

Non è difficile, utilizzando strumenti di probabilità classica, scoprire che la risposta è Di seguito le possibili combinazioni dei figli che rispettano le condizioni date:

Figlio maggiore Figlio minoreFemminaFemminaFemminaMaschioMaschioFemminaMaschioMaschio

Una domanda simile con risposta corretta 1/2 L'ambiguità è nell'espressione "almeno un bambino", che porta a intendere questo "paradosso" nella seguente formulazione, in apparenza equivalente: "Sapendo che una famiglia ha esattamente due bambini, dei quali il primo è un maschio, quant'è la probabilità che l'altro bambino sia una femmina?"

In questo caso la risposta intuitiva è corretta. Infatti in metà delle famiglie (casi 1 e 2) il primo figlio è maschio e di queste nella metà dei casi (caso 1) anche il secondo è maschio. Di seguito le possibili combinazioni dei figli che rispettano le diverse condizioni poste:

Figlio maggiore Figlio minoreFemminaFemminaFemminaMaschioMaschioFemminaMaschioMaschio

Ma con le parole "almeno un bambino", non stiamo individuando uno dei due figli in particolare (cioè se è il primo o il secondo). Le parole "l'altro bambino" invece ci portano spontaneamente a immaginare che l'"almeno uno" indichi un bambino specifico (ad esempio che chi ci pone la domanda ne abbia chiaro in mente il volto e se è il primo o il secondo) e a forzare quindi il significato della prima parte della domanda.

Studio scientifico Fox & Levav nel 2004 hanno sottoposto ad un test alcuni volontari, ponendo loro una delle seguenti due domande: «Il signor Smith dice: "Ho due bambini ed almeno uno è un maschio." Considerando questa informazione, qual è la probabilità che l'altro bambino sia un maschio?» «Il signor Smith dice: "Ho due bambini e non sono entrambi femmine." Considerando questa informazione, qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?»

I due studiosi hanno riportato che l'85% delle persone che hanno risposto alla prima domanda, hanno fornito come risposta 1/2 considerando solo 2 possibili combinazioni, ingannati dalle parole "l'altro bambino". Alla seconda domanda, solamente il 39% ha risposto 1/2. Gli studiosi hanno così mostrato che pur essendo (a livello di calcolo delle probabilità) la stessa domanda con gli stessi casi da considerare, la diversa formulazione ha ridotto l'ambiguità e di conseguenza le risposte errate del 46%.

Note

Voci correlate Probabilità condizionata Paradosso delle tre carte Problema di Monty Hall

Due bambini Categoria:Teoria della probabilità