In matematica, una funzione iniettiva (detta anche funzione ingettiva oppure iniezione) è una funzione che associa, a elementi distinti del dominio, elementi distinti del codominio.

In altre parole: una funzione da un insieme a un insieme è iniettiva se ogni elemento di non può essere ottenuto in più modi diversi partendo dagli elementi di .

Definizione Una funzione si dice iniettiva se due elementi distinti del dominio hanno immagini distinte, ossia implica ; equivalentemente, se due elementi del dominio hanno la stessa immagine allora coincidono necessariamente, ossia implica .

Simbolicamente:..

oppure, nella forma contronominale:.

Proprietà Grafico

Se è una funzione iniettiva, allora ogni elemento dell'immagine è immagine di esattamente un elemento del dominio, e la proiezione del grafico sulla seconda coordinata è una funzione iniettiva.

In particolare, se è una funzione reale di una variabile reale iniettiva, qualunque retta parallela all'asse delle intersecherà il grafico della funzione in al massimo un punto. Se inoltre la funzione iniettiva è definita e continua su un intervallo, allora è strettamente monotòna (strettamente crescente o strettamente decrescente).

Viceversa, se è una funzione reale di variabile reale non iniettiva, allora esistono due elementi del dominio che hanno la stessa immagine, . Dunque la retta interseca il grafico in almeno due punti: e .

Omomorfismi Un omomorfismo di gruppi è iniettivo (monomorfismo) se e solo se il suo nucleo è costituito dal solo elemento neutro...

In particolare, un'applicazione lineare tra spazi vettoriali è iniettiva se e solo se il suo nucleo è composto solo dal vettore nullo.. Equivalentemente in spazi di dimensione finita, un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se la dimensione dell'immagine è uguale alla dimensione del dominio: non esistono quindi applicazioni lineari iniettive da uno spazio ad un altro di dimensione minore.

Invertibilità

L'iniettività è una condizione necessaria ma non sufficiente per l'invertibilità.

Una funzione iniettiva non è in generale invertibile, perché dovrebbe essere anche suriettiva. Restringendo però il codominio all'immagine si ottiene una diversa funzione , invertibile.

Una funzione invertibile è iniettiva, ed anche la sua inversa , essendo invertibile, è iniettiva.

Composizione La composizione di due (o più) funzioni iniettive è iniettiva:

Se la funzione composta è iniettiva, allora è iniettiva, ma non è detto che lo sia. Ad esempio, la funzione iniettiva è composizione di una funzione iniettiva e di una funzione non iniettiva .

Se esistono due funzioni distinte tali che , allora non è iniettiva: infatti esiste un con , ma .

Cardinalità Una funzione il cui dominio abbia cardinalità superiore al codominio non può essere iniettiva. Dunque una funzione iniettiva tra due insiemi ha un codominio di cardinalità maggiore o uguale a quella del dominio.

Questa proprietà è vera, oltre che per insiemi di cardinalità finita anche per insiemi di cardinalità infinita: per esempio, non esistono funzioni iniettive da un insieme con la cardinalità del continuo a un insieme numerabile.

Numero di funzioni iniettive Il numero di funzioni iniettive da un insieme finito con elementi ad un insieme finito con elementi è pari al numero di disposizioni semplici di elementi, presi a : .

Altre proprietà Se è iniettiva, e e sono sottinsiemi di A, allora .

Ogni funzione può essere scomposta come composizione di una funzione suriettiva e di una funzione iniettiva , definendo e .

Ulteriori caratterizzazioni dell'iniettività Quelle che seguono sono formulazioni equivalenti alla definizione dell'iniettività di una funzione e, pertanto, sono interpretabili come ulteriori caratterizzazioni della stessa proprietà.

Ogni elemento del codominio ha al più un elemento del dominio come propria controimmagine e la controimmagine dell'intero codominio è tutto il dominio . Esistenza di un'inversa sinistra: esiste una funzione tale che Cancellabilità a sinistra per composizione: per ogni insieme e per ogni funzione e tali che si ha Identità della controimmagine dell'immagine di qualunque sottoinsieme del dominio: per ogni si ha

Esempi Su ogni insieme la funzione identità è iniettiva (e suriettiva). L'inclusione di un sottoinsieme in , essendo restrizione dell'identità , è iniettiva. Una funzione definita su un insieme con un solo elemento, , è iniettiva. Una funzione definita sull'insieme vuoto, , è iniettiva. Una funzione costante, , definita su un dominio con almeno due elementi, non è iniettiva. Per e , la funzione è iniettiva (e suriettiva). La funzione esponenziale non è iniettiva. La funzione esponenziale è iniettiva. La funzione logaritmo, , è iniettiva. Una funzione reale derivabile, , la cui derivata sia sempre strettamente positiva, o sempre strettamente negativa, è iniettiva. Una funzione reale derivabile, , la cui derivata cambi segno, non è iniettiva. La funzione quadrato è iniettiva. La funzione quadrato non è iniettiva. La funzione cubo è iniettiva. La funzione cubo non è iniettiva. Una funzione periodica (come seno e coseno) non è iniettiva.

Note

Bibliografia

Voci correlate Funzione suriettiva Funzione biiettiva Immersione (matematica)

Altri progetti

Collegamenti esterni

Categoria:Funzioni matematiche Categoria:Matematica di base Categoria:Teoria degli insiemi