In geometria, una trasformazione di Möbius è una funzione
dove e sono numeri complessi con .
La funzione è definita sulla sfera di Riemann, ed è un ingrediente fondamentale della geometria proiettiva e dell'analisi complessa. Si usano anche i termini trasformazione omografica e trasformazione lineare fratta. Il nome è legato al matematico August Ferdinand Möbius.
Definizione Una trasformazione di Möbius è una funzione
definita sulla sfera di Riemann
della forma
con determinante diverso da zero
Automorfismi della sfera di Riemann Esempi La condizione sul determinante è necessaria affinché la funzione sia effettivamente definita su tutta la sfera di Riemann. Valgono in particolare le relazioni
Rappresentazione tramite matrici La trasformazione è determinata dalla matrice
Poiché ha determinante non nullo, la matrice è invertibile. Quindi è un elemento del gruppo generale lineare composto da tutte le matrici complesse invertibili .
La rappresentazione tramite matrici è molto comoda, in virtù del fatto seguente: la composizione di due trasformazioni di Möbius, descritte dalle matrici e , è anch'essa una trasformazione di Möbius, descritta dalla matrice .
Automorfismo La descrizione tramite matrici mostra che ogni trasformazione di Möbius è una funzione biettiva dalla sfera di Riemann in sé. Infatti, una trasformazione associata alla matrice ha una inversa, associata alla matrice inversa .
Per questo motivo una trasformazione di Möbius è chiamata automorfismo. Le trasformazioni di Möbius formano un gruppo, indicato con
Struttura di gruppo La rappresentazione matriciale fornisce un omomorfismo di gruppi
L'omomorfismo è suriettivo ma non iniettivo: il nucleo consiste infatti di tutte le matrici della forma , dove è la matrice identità e è un numero complesso. Il primo teorema d'isomorfismo fornisce quindi un isomorfismo di gruppi
dove se e solo se per qualche . Il quoziente è indicato con una "P" davanti, perché questa costruzione è identica a quella dello spazio proiettivo di uno spazio vettoriale.
Proprietà basilari Trasformazioni elementari Ogni automorfismo di Möbius è ottenuto componendo alcune trasformazioni elementari di questo tipo: (traslazione) (inversione) (omotetia e rotazione) La traslazione tiene fisso il punto all'infinito e trasla tutti i punti del piano complesso. L'inversione scambia i punti e . A proposito della terza trasformazione, scrivendo in coordinate polari
si verifica che è una rotazione di angolo , composta con una omotetia di fattore .
Mappe conformi Un automorfismo di Möbius è una mappa conforme, una mappa cioè che preserva gli angoli. Infatti, ciascuna delle trasformazioni elementari descritte preserva gli angoli. Un automorfismo però non preserva lunghezze o aree.
Rette e circonferenze thumb|upright=2.3|L'inversione manda l'infinito in zero, e quindi le rette (che sono circonferenze passanti per l'infinito) in circonferenze e rette passanti per l'origine. Una circonferenza nella sfera di Riemann è una circonferenza di , oppure una retta di completata con il punto all'infinito.
L'immagine di una circonferenza tramite una funzione di Möbius è un'altra circonferenza. Le trasformazioni di Möbius mandano quindi circonferenze in circonferenze.
Questa proprietà è verificata dalle trasformazioni elementari (traslazioni, inversioni, rotazioni, omotetie), e per questo motivo è verificata da qualsiasi trasformazione.
Birapporto Una trasformazione di Möbius preserva il birapporto di quattro punti della sfera di Riemann. Vale cioè la relazione
Funzione meromorfa Con il linguaggio dell'analisi complessa, un automorfismo di Möbius è una particolare funzione meromorfa, avente un polo in di ordine 1.
Trasformazione proiettiva Con il linguaggio della geometria proiettiva, la sfera di Riemann è identificata con la retta proiettiva complessa tramite la mappa
Con questa identificazione, le trasformazioni di Möbius sono esattamente gli isomorfismi proiettivi della retta proiettiva complessa.
Voci correlate Gruppo modulare Gamma Sfera di Riemann Retta proiettiva Funzione meromorfa
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Categoria:Analisi complessa Categoria:Geometria proiettiva