Il rettangolo aureo è un rettangolo le cui proporzioni sono basate sulla proporzione aurea. Ciò significa che il rapporto fra il lato maggiore e quello minore, a : b, è identico a quello fra il lato minore e il segmento ottenuto sottraendo quest'ultimo dal lato maggiore b : a−b (il che implica che entrambi i rapporti siano 1,618).

La particolarità saliente è la sua facile replicabilità: difatti, basta disegnarvi all'interno un quadrato basato sul lato minore, o altresì, all'esterno, basato sul lato maggiore, sì da ottenere col semplice compasso un altro rettangolo, minore o maggiore, anch'esso di proporzioni auree.

Le sue particolarità, nonché l'alone che già risiedeva attorno alla proporzione aurea, sulla quale è basato, l'hanno fatto considerare nei secoli un canone di bellezza assoluto; non sono mancate nell'800 persino indagini psicologiche volte ad avvalorare tale tesi, e nonostante successive verifiche l'abbiano del tutto privata di valore scientifico ancora oggi è diffusa l'idea che il rettangolo aureo sia il "rettangolo più bello".

Costruzioni e approssimazioni geometriche Costruzione con riga e compasso Il procedimento di costruzione del rettangolo aureo con il solo ausilio di riga e compasso è stato presentato per la prima volta da Euclide nella proposizione 2.11 degli elementi.

Si costruisce dapprima un quadrato, il cui lato corrisponderà al lato minore del rettangolo. Si trova poi il punto medio di un lato e si punta su di esso un compasso con apertura sino a un vertice non adiacente del quadrato. Il punto nel quale la circonferenza così determinata interseca il prolungamento del lato determina il secondo estremo del lato maggiore del rettangolo.

La dimostrazione è veloce:

Considerando 1 il lato del quadrato, l'apertura del compasso che punta nel punto medio risulta, applicando il teorema di Pitagora:

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Considerando che il segmento di tale lunghezza va aggiunto ad una porzione pari a ½ del lato, il lato maggiore costruito misurerà complessivamente:

Il rettangolo aureo può essere ricavato anche all'interno del perimetro del quadrato, con un metodo che ricalca quello usato per dividere un segmento in proporzione aurea: Si traccia una diagonale da un vertice a uno dei punti medi dei lati. Si riporta sulla diagonale una lunghezza uguale a ½ lato del quadrato. La lunghezza restante la si riporta su un lato, completando poi il rettangolo.

Il rettangolo di maggiori dimensioni così ottenuto è un rettangolo aureo, che sta in proporzione 1/φ al quadrato iniziale, mentre il più piccolo ricavato è uguale alla somma di tutti i rettangoli aurei ricavabili all'interno del principale (vedi oltre).

Calcolo algebrico del rapporto Considerando sempre 1 il lato maggiore (a), in comune col quadrato il lato minore, per quanto nella figura e nel testo in prefazione, ha misura:

a questo risultato si perviene risolvendo l'equazione di secondo grado b2+b-1=0.

Costruzione attraverso piegature di un foglio Esiste un modo elegante per ottenere un rettangolo aureo da un rettangolo qualsiasi, attraverso successive piegature di un foglio di carta.

Come mostrato da Corrado Falcolini, il numero di piegature richieste è in questo caso pari solo a 3. Il rettangolo aureo ottenuto ha per lato maggiore lo stesso della figura originaria mentre il lato minore è ottenuto accorciando quello originarioCorrado Falcolini, Numeri in un foglio di carta, in Archimede, 2 (2006). Il procedimento è illustrato anche, ma senza dimostrazione, in , intervista a Corrado Falcolini dal portale online dell'Enciclopedia Italiana Treccani.

Approssimazione mediante la successione di Fibonacci

Un modo alternativo per costruire un rettangolo dalle proporzioni auree è quello di accostare in successione quadrati che abbiano per lati i valori della successione di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8...

In questo modo si creerà una successione di rettangoli sempre più vicini a quello aureo, ma è bene precisare che sarà sempre una approssimazione che non diventerà mai esatta poiché il rapporto aureo è un numero irrazionale, il che fa dei lati del rettangolo in esame due grandezze incommensurabili per le quali, cioè, non esiste un sottomultiplo comune; come si vede dall'immagine, il procedimento dei quadrati di Fibonacci crea invece lati sempre esprimibili tramite numeri interi, il che significa che il loro rapporto sarà sempre un numero razionale.

Particolarità geometriche Dalla proprietà del rettangolo aureo di potersi "rigenerare" infinite volte, deriva la possibilità di creare al suo interno una successione infinita di quadrati e quindi una spirale, detta spirale di Fibonacci, in grado di approssimare la spirale aurea.

Spesso, per imprecisione, si è portati a scambiare detta spirale con l'autentica spirale aurea, ma si tratta di un errore: la spirale di Fibonacci, infatti, è data dall'unione di un'infinità di quarti di circonferenza, mentre la vera spirale aurea è un particolare tipo di spirale logaritmica, che si sovrappone soltanto parzialmente a quella di Fibonacci. Il grado di approssimazione, però, è talmente buono da notarsi difficilmente a occhio la differenza tra le due.

Ciò che, comunque, hanno in comune entrambe le spirali è il fatto di avvitarsi asintoticamente verso l'incrocio tra le diagonali che possono essere ricavate all'interno dei rettangoli aurei; punto di incontro che è stato chiamato da Clifford A. Pickover l'occhio di Dio.probabilmente per la costante presenza della sezione aurea altresì detta "divina proporzione", da cui il richiamo al divino di Clifford surrogato da quello di Pacioli ideatore della formula., proprio per il fatto che tutto sembra vertere attorno a questo punto, dalle spirali alle diagonali e alla sequenza di quadrati. Interessante notare, poi, come non soltanto le diagonali vere e proprie si intreccino in questo particolare punto del rettangolo aureo, ma anche altre rette colleganti ulteriori punti notevoli di questo vorticoso accentramento.

In geometria solida, il rettangolo aureo è presente in due solidi platonici, anch'essi legati alla sezione aurea:

nell'icosaedro, formato da 20 triangoli equilateri, i cui 12 vertici sono a gruppi di 4 disposti su 3 piani intersecantesi ortogonalmente; su questi è possibile, unendo i diversi punti, disegnare 3 rettangoli aurei disposti allo stesso modo. nel dodecaedro, formato invece da 12 pentagoni, gli stessi rettangoli aurei possono essere costruiti usando non i vertici, ma i centri delle facce; si tratta in realtà di una riproposizione della proprietà precedente, poiché tali centri sono i vertici di un icosaedro regolare.

Relazioni interne All'interno di un rettangolo aureo possono ricavarsi una infinità di figure identiche legate tra loro in maniera sorprendente da relazioni strettissime con il numero aureo e le sue particolarità algebriche.Le proprietà algebriche del numero aureo sono tutte deducibili dalle relazioni (tra loro equivalenti): 1) φ2 = φ + 1; 2) 1/φ = φ - 1

Se consideriamo 1 la misura del lato minore del rettangolo aureo, quella del lato maggiore sarà φ; l'area complessiva del rettangolo risulterà quindi:

ovvero il numero aureo, mentre l'area del quadrato costruito al suo interno, sul lato minore, sarà 1, e il loro rapporto è quindi sempre pari a φ; il rapporto fra l'area del suddetto quadrato e quella del rettangolo aureo di completamento contestualmente creato, il cui lato minore misura φ - 1, sarà quindi:

.

Da ciò si ottiene che il rapporto fra due rettangoli aurei consecutivi nella successione è φ2, cosa che vale peraltro anche per i rispettivi quadrati. Iterando il procedimento si ottiene che: φ2n è il rapporto tra le aree del rettangolo (o quadrato) maggiore e l'n-esimo dei rettangoli (o quadrati) più piccoli. φ2n - 1 è il rapporto fra le aree del rettangolo (o quadrato) maggiore e l'n-esimo dei quadrati (o rettangoli) più piccoli. Si ha quindi una successione geometrica, a base aurea, i cui termini pari e dispari rappresentano rispettivamente rapporti fra figure simili e diverse.

Osservando le precedenti figure si capisce facilmente che la somma infinita di tutti i quadrati ricavabili, pari al rettangolo aureo stesso, è data dalla serie geometrica: 1 + φ-2 + φ-4 + φ-6 + ... la cui somma è:

Questo risultato va interpretato come rapporto tra l'area totale e quella, considerata unitaria, del quadrato costruito sul lato minore del rettangolo aureo. Tale area è quella del quadrato costruibile sul lato maggiore; difatti disponendo adeguatamente tutti i rettangoli aurei si può ottenere un quadrato, come si vede nella figura a lato.

Dalla figura si evince anche che considerando solo la somma di tutti i rettangoli aurei interni, l'area totale è pari invece al quadrato costruibile sul lato lato minore del rettangolo aureo preso in considerazione; infine è possibile dire che dato un rettangolo aureo, sommando a questo tutti i suoi rettangoli interni (con cui costituisce un'area pari al già citato quadrato) e tutti i quadrati, sempre interni, l'area complessiva che si ottiene è quello del rettangolo aureo ad esso maggiore, procedendo ora non verso l'interno ma verso l'esterno della successione di figure.

Venendo ora ai perimetri, il perimetro di un rettangolo aureo vale 2φ2

mentre rispetto a questo il perimetro del rettangolo appena più interno vale:

Il rapporto fra due perimetri consecutivi è quindi esattamente φ (identica relazione vi è tra i perimetri dei rispettivi quadrati); siamo così di fronte questa volta a una successione del tipo: 1, φ-1, φ-2, φ-3, φ-4, φ-5 ... la cui somma applicando il procedimento già visto è

La somma di tutti i suddetti perimetri è quindi pari al perimetro del rettangolo aureo ottenuto spostandosi due volte verso l'esterno nella solita successione.

Il rettangolo più bello La sezione aurea è da sempre stata ritenuta un rapporto dotato di grande armonia, capace di conferire intrinsecamente bellezza alle figure, e fra tutte le sue applicazioni geometriche il rettangolo aureo è senz'altro il poligono che ha ereditato maggiormente tale fama. A torto o a ragione, si è ritenuto che fin dall'antichità sia stato usato nella costruzione di importanti edifici per conferire loro una particolare armonia; tali convinzioni non hanno però mancato di suscitare tra gli studiosi perplessità e a volte anche lunghe polemiche.

Forse, la diatriba più avvincente in merito, è quella che vede al centro il Partenone di Atene: molti studiosiad esempio David Bergamini in Mathematics dice «The Parthenon ad Athens fits into a golden rectangle almost precisely once its ruined triangular pediment in drawn in. Though it incorporates many geometric balances, its builders in the fifth century B.C. probably had no conscious knowledge of the golden ratio». 1987 ISBN 0-8094-4083-0 sostengono, per esempio, che la facciata possa essere interamente inquadrata in un ideale rettangolo aureo e a conferma di ciò vi sarebbero anche buona parte dei fregi, a loro volta basati su proporzioni interne e distanze che spesso sarebbero tra loro nello stesso particolare rapporto. Vi è però anche una nutrita schiera di critici, che ritengono tale convinzione frutto di arbìtri, imprecisioni e autoconvincimento. Viene ad esempio contestato il modo in cui cambiano le misure da fonte a fonte, in relazione ai punti presi in considerazione, per farli quadrare con la suesposta tesi, a volte omettendo o includendo il basamento, altre ritagliando gli elementi "marginali" dell'architetturaGeorge Markowsky, Misconceptions: The Greek Used Φ in Pathenon, in Misconceptions about the Golden; sulla rivista The College Mathematicals Journal (1992, 23-1 pp. 8-9); oppure si sottolinea come spesso le considerazioni vengano fatte non su dati reali, ma ricavando i disegni direttamente da foto o immagini prese in diverse angolature.