In matematica, un fascio è uno strumento per tracciare sistematicamente dati (come insiemi, gruppi abeliani, anelli) assegnati ad insiemi aperti di uno spazio topologico e definiti localmente rispetto ad essi. Ad esempio, per ogni insieme aperto, i dati potrebbero essere l'anello delle funzioni continue definite su quell'insieme aperto. Tali dati sono ben costruiti in quanto possono essere limitati a insiemi aperti più piccoli e i dati assegnati a un insieme aperto sono equivalenti a tutte le raccolte di dati compatibili assegnati a raccolte di insiemi aperti più piccoli che ricoprono l'insieme aperto originale (intuitivamente, ogni pezzo dei dati è completamente ottenibile delle sue parti). I fasci sono intesi a livello concettuale come oggetti generali e astratti. La loro definizione precisa è particolarmente tecnica. Sono denominati, ad esempio, fasci di insiemi o fasci di anelli a seconda del tipo di dati assegnati agli insiemi aperti.
Per la loro natura generale e versatilità, i fasci hanno diverse applicazioni in topologia e soprattutto in geometria algebrica e differenziale. Un fascio è uno degli strumenti fondamentali per lo studio delle proprietà geometriche degli oggetti. Un fascio permette di esprimere le relazioni tra piccole regioni di uno spazio topologico e lo spazio totale. Per costruire un fascio si parte, in genere, da uno spazio topologico X, e si assegna ad ogni sottoinsieme aperto U di X un dato F(U), quale un insieme, un gruppo, o un anello. In genere, se si vogliono studiare proprietà geometriche dello spazio topologico X, il dato F(U) assegnato all'aperto U è costituito da una famiglia di oggetti geometrici definiti su U, come funzioni, campi vettoriali, o forme differenziali.
La definizione formale Il primo passo per poter definire un fascio è definire il concetto di prefascio, con il quale si formalizza l'idea di associare determinati dati ad ogni aperto. In seguito, si enunciano i due assiomi di fascio: la normalizzazione e l'incollamento.
Definizione di prefascio Sia X uno spazio topologico, e sia C una categoria. In genere, C può essere la categoria degli insiemi, dei gruppi, dei gruppi abeliani, o quella degli anelli commutativi. Un prefascio F su X a valori in C è allora definito dai dati seguenti: Per ogni sottoinsieme aperto U di X, un oggetto F(U) in C Per ogni scelta di aperti V e U di X, con , un morfismo resV,U: F(U) → F(V) nella categoria C. I morfismi resV,U sono detti morfismi di restrizione, e devono soddisfare le due proprietà seguenti: Per ogni sottoinsieme aperto U di X, si ha che resU,U = idF(U), dove idF(U) è l'identità di F(U) in C Per ogni scelta di sottoinsiemi aperti in X, si ha allora resW,V o resV,U = resW,U. Il secondo assioma afferma che il risultato della restrizione prima da U a V ed in seguito da V a W è uguale al risultato della restrizione direttamente da U a W.
Esiste un modo più compatto per esprimere la nozione di prefascio su uno spazio topologico, utilizzando la teoria delle categorie. Infatti, se X è uno spazio topologico, allora possiamo definire la categoria degli aperti di X, che indicheremo con Op(X) in questo modo: Gli oggetti di Op(X) sono tutti i sottoinsiemi aperti di X Per ogni V, U aperti di X, definiamo l'insieme dei morfismi da V a U come l'insieme costituito dall'inclusione iV,U se V è contenuto in U, come l'insieme vuoto altrimenti. Allora, un prefascio F su X a valori in una categoria C è semplicemente un funtore controvariante da Op(X) a C. Ovviamente, questa definizione si può generalizzare al caso in cui la categoria di partenza sia una qualsiasi categoria: ogni funtore controvariante tra le categorie è un prefascio.
Se F è un prefascio su X a valori in C, ed U è un aperto in X, allora F(U) è detto sezione di F su U. Se C è una categoria concreta, allora ogni elemento di F(U) è chiamato sezione. In particolare, un elemento di F(X) è detto sezione globale. Talvolta, specialmente nel contesto della coomologia di fasci, l'oggetto F(U) è denotato anche come Γ(U,F).
Definizione di fascio Un fascio F su X a valori in C è un prefascio che verifica i due assiomi di normalizzazione e di incollamento.
Assioma di normalizzazione: F(∅) è l'oggetto terminale della categoria C (ovviamente, perché questo assioma abbia senso, C deve possedere oggetto terminale).
L'assioma di incollamento è più importante. Per semplicità, supponiamo che C sia una categoria concreta. Sia I un insieme di indici, per ogni si scelga un aperto , e sia la loro unione.
Assioma di incollamento S1: Siano due sezioni tali che per ogni si abbia
Allora .
Assioma di incollamento S2: Per ogni , si scelgano elementi tali che per ogni
Allora esiste tale che
Un prefascio che verifica solo l'assioma di incollamento S1 è detto prefascio separato (o anche monoprefascio). I due assiomi possono essere uniti in un unico assioma di incollamento, richiedendo in S2 non solo l'esistenza, ma anche l'unicità della sezione s su U. Sono proprio i due assiomi di incollamento che ci permettono di passare da una collezione locale di dati, cioè dati definiti solo su aperti, ad un dato globale, definito cioè su tutto lo spazio topologico.
Esempi Fasci di funzioni Il primo, fondamentale esempio di fascio è quello delle funzioni continue a valori reali su uno spazio topologico X. La categoria di arrivo è, per il momento, quella degli insiemi.
Iniziamo con il definire un prefascio, associando all'insieme vuoto il singoletto (dall'insieme vuoto a un qualsiasi insieme c'è solo la funzione vuota), e ad ogni aperto non vuoto U di X, l'insieme F(U) delle funzioni continue f:U → R. Dati ora due aperti , possiamo definire il morfismo di restrizione
per ogni funzione , dove è la restrizione della funzione f al sottoinsieme aperto V di U. Dato che f è una funzione continua su U a valori reali, anche sarà continua (su V) a valori reali, cioè un elemento di F(V).
L'assioma di normalizzazione è soddisfatto per costruzione. Dobbiamo quindi verificare l'assioma di incollamento. Siano quindi un insieme di indici, una famiglia di aperti di X e sia . Siano due funzioni continue definite su U a valori reali tali che per ogni . Allora, per ogni punto si ha che , cioè . L'assioma di incollamento S1 è quindi verificato. Se ora, per ogni i, sono funzioni continue su a valori reali tali che per ogni si ha , allora esiste una funzione continua su U e a valori reali tale che per ogni i: basta definire la funzione punto per punto. Più precisamente, per ogni esiste tale che , e si definisce quindi . Si verifica facilmente che tale f è ben definita, continua su U, a valori reali.
Poiché l'insieme delle funzioni continue definite su un aperto U di X a valori reali è uno spazio vettoriale reale, il fascio appena costruito può essere visto non solo come fascio di insiemi, ma come fascio di spazi vettoriali reali.
L'esempio può essere generalizzato in vari modi:
Ogni mappa continua tra spazi topologici determina un fascio di insiemi. Sia f : Y → X una mappa continua. Definiamo allora il fascio ponendo come l'insieme delle funzioni s : U → Y tali che fs = idU. La mappa di restrizione è la restrizione delle funzioni. Il fascio ottenuto è chiamato fascio delle sezioni di f, ed è importante nel caso in cui la mappa f sia la proiezione di un fibrato vettoriale sul suo spazio topologico di base. Un esempio concreto è dato da , , e . è l'insieme delle ramificazioni del logaritmo su .
Sia M una Ck-varietà differenziabile. Per ogni aperto U di M sia l'insieme delle funzioni reali definite su U di classe Ck. La mappa di restrizione è la restrizione di funzioni. Il prefascio è un fascio di anelli, chiamato fascio strutturale di M. Per ogni , M ammette anche un fascio , detto fascio delle funzioni di classe Cj su M. è un sottofascio di : su ogni aperto U, , ed è il sottoinsieme delle funzioni di classe Cj su U. Su M è possibile definire anche il fascio delle funzioni mai nulle. Ad ogni aperto U, è l'insieme delle funzioni reali su U diverse da 0. Si tratta di un fascio di gruppi, rispetto al prodotto dato dalla moltiplicazione punto per punto. Un altro fascio molto importante su M è il fascio cotangente ΩM. Su ogni aperto U, ΩM(U) è l'insieme delle 1-forme differenziali su U. La restrizione è la restrizione canonica di forme differenziali. In modo analogo si definisce il fascio Ωp, delle p-forme differenziali. Se M è una varietà liscia, allora per ogni aperto U si può definire l'insieme delle distribuzioni a valori reali su U. è un fascio, chiamato fascio delle distribuzioni a valori reali. Se X è una varietà complessa, per ogni aperto U di X, si definisce come l'insieme degli operatori differenziali olomorfi su U. Si ottiene allora un fascio, chiamato fascio degli operatori differenziali olomorfi.
Altri esempi Altri importanti esempi di prefasci e fasci sono i seguenti:
Per ogni insieme S ed ogni spazio topologico X, si ha il prefascio costante F, che ad ogni aperto U di X associa F(U) = S. La mappa di restrizione è l'identità. F è un prefascio ma non è un fascio: siano U e V due aperti disgiunti, s e t sono due elementi distinti di S. s determina una sezione di F(U), t una sezione di F(V). Poiché U e V sono disgiunti, le ipotesi dell'assioma di incollamento sono verificate. Se F fosse un fascio, dovrebbe esistere un elemento di F(U ∪ V) che si restringe ad s su U ed a t su V, il che è impossibile: dovrebbe esistere un elemento di S uguale sia as s che a t. F è, comunque, un prefascio separato. Partendo dal prefascio costante, è possibile costruire un fascio, chiamato fascio costante. Basta definire come l'insieme delle funzioni da U ad S costanti sulle componenti connesse di U. Si verifica facilmente che è un fascio. Sia x un punto fissato di X, e sia S un oggetto di una categoria C. Il fascio grattacielo su x con spiga S è il fascio Sx definito nel modo seguente: se U è un aperto contenente x, allora Sx(U) = S. Se U non contiene x, allora Sx(U) è l'oggetto terminale di C. Le mappe di restrizione sono l'identità tra aperti contenenti x, la mappa banale altrimenti.
Infine, altri due esempi di prefasci che non sono fasci:
Sia X uno spazio topologico costituito da due punti {x, y}, munito della topologia discreta. Possiamo definire un prefascio F nel modo seguente: F(∅) = ∅, F({x}) = R, F({y}) = R, F({x, y}) = R × R × R. La mappa di restrizione F({x, y}) → F({x}) è la proiezione di R × R × R sulla prima coordinata, mentre la mappa di restrizione F({x, y}) → F({y}) è la proiezione di R × R × R sulla seconda coordinata. F è un prefascio non separato, poiché una sezione globale è determinata da tre coordinate, ma le due sezioni su {x} e {y} precisano solo le prime due. Quindi, anche se possiamo incollare due sezioni, non è possibile farlo in modo univoco.
Sia X il piano complesso, e per ogni U aperto in X sia F(U) l'insieme delle funzioni olomorfe limitate su U. Questo non è un fascio, perché non sempre è possibile incollare: se Ui è l'insieme degli z tali che |z| < i, la funzione f(z) = z è limitata su ogni Ui, e quindi abbiamo una sezione si su Ui. Ma queste sezioni non si incollano perché l'unica funzione che otteniamo è la funzione f(z)=z, che non è limitata sul piano complesso. F è un prefascio separato, in quanto sotto-prefascio del fascio delle funzioni olomorfe, ma non è un fascio.
Morfismi di fasci Siano e due prefasci su uno spazio topologico X, entrambi a valori in una categoria C. Un morfismo di prefasci φ : → è una collezione di morfismi per ogni aperto U, φ(U) : → nella categoria C, con la condizione che per ogni aperto U di un aperto V di X, si abbia un diagramma commutativo:
La condizione di commutatività del diagramma dice che se s è una sezione di , allora inviare s nella sua immagine φ(U)(s) in , ed in seguito restringerla ad U dà lo stesso risultato di prima restringere s ad U, e poi inviare la restrizione nella sua immagine in .
Nel caso in cui e siano due fasci, un morfismo di fasci φ : → è semplicemente un morfismo di prefasci.