In matematica, un'involuzione è una funzione caratterizzata dalla proprietà di essere l'inversa di sé stessa. Se applicata due volte, quindi, il risultato coincide con l'elemento di partenza.
Definizione Un'involuzione è una funzione
tale che
Ogni involuzione è necessariamente una funzione biiettiva.
Il concetto di involuzione è talvolta utilizzato al posto di idempotenza, che riguarda più propriamente funzioni tali che .
Esempi La funzione identità è un'involuzione banale. Esempi meno banali includono la moltiplicazione per di un numero reale, l'inverso di un numero razionale, l'insieme complemento di un sottoinsieme, il coniugato di un numero complesso e l'operatore di trasposizione.
In algebra lineare, tranne che in caratteristica due, un'applicazione lineare che sia un'involuzione è sempre diagonalizzabile.
In teoria dei gruppi, una permutazione è un'involuzione se è prodotto di trasposizioni indipendenti.
La trasformata di Legendre è un'involuzione, infatti .
Conteggio delle involuzioni Il numero di involuzioni in un insieme con elementi è dato dalla seguente relazione ricorsiva:
I primi termini della successione sono 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232.
Per calcolare il numero di involuzioni in un insieme con elementi si può ricorrere anche alla seguente formula:
Note
Voci correlate Idempotenza
Collegamenti esterni
Categoria:Teoria degli insiemi