La linea di trasmissione è costituita generalmente da un cavo o da una struttura atta a trasportare segnali (nel campo dell'elettronica) o energia (nel campo dell'elettrotecnica) per grandi distanze; nel caso di trasmissione di energia elettrica, le linee sono esercite ad alta tensione.
Per esempio, le linee di trasmissione sono molto importanti nel campo della microelettronica, in particolare nella progettazione dell'hardware in informatica, e, in generale, tutte le volte in cui ci sono componenti che operano in alta frequenza, connessi tra loro, e che ricevono energia da un generatore mediante conduttori di dimensioni non trascurabili rispetto alle lunghezze d'onda in gioco. Infatti, in alcuni casi, nello studio di un circuito e nell'analisi di uno schema elettrico si applica l'approssimazione di considerare solo i generatori e i componenti, trascurando completamente i conduttori che ne garantiscono il collegamento, mentre, invece, la presenza di tali conduttori può avere degli effetti non trascurabili e, in tal caso, tale approssimazione non è più valida.
Descrizione
Nel modello più generale una linea di trasmissione può essere schematizzata come due conduttori paralleli che connettono un generatore ed un carico elettrico. In figura è mostrato un modello generale della linea di trasmissione: essa è un tipico elemento a costanti distribuite, perciò si considerano tutti gli elementi per unità di lunghezza, cioè considereremo la lunghezza tra i punti e i punti una lunghezza . Come si vede dalla figura bisogna tenere in considerazione diversi elementi: intanto i due conduttori paralleli hanno una loro resistenza ed ed una loro induttanza ed che sono responsabili di cadute di potenziale sulla linea. Poi bisogna tenere presente della conduttanza e della capacità tra i due conduttori. Tutti questi elementi, normalmente, sono forniti per unità di lunghezza, cioè ad esempio:
dove è la resistenza totale nel tratto .
La linea di trasmissione rappresenta un valido modello teorico di propagazione del segnale elettrico a cui possono essere ricondotte anche alcune strutture di guida d'onda come il cavo coassiale.
Cadute di tensione e di corrente Nel modello della linea di trasmissione vi sono cadute di tensione tra e tra , dovute alle resistenze ed alle induttanze, che sono quantificabili sempre nel tratto come:
per cui la variazione di tensione nel tratto è:
dove ed . In definitiva, differenziando (in ):
si nota che la variazione della tensione dovuta al termine resistivo è lineare e decrescente, mentre la variazione della tensione per il termine induttivo dipende dal segno della derivata della corrente, quindi può essere decrescente o crescente.
Per quanto riguarda le perdite di corrente vediamo che sono attribuibili alla presenza di una conduzione (G, conduttanza elettrica è l'inverso della resistenza elettrica) e di una capacità (C) tra i due conduttori della linea. Nel tratto :
per cui la variazione di corrente dipende dal segno di come si vede in figura: quindi la corrente fluisce da verso , viceversa fluisce una corrente opposta da a . Dunque la perdita di corrente, differenziando, è:
Le equazioni generali della linea di trasmissione, note come equazioni dei telegrafisti, sono:
(1)
(2)
dove, come detto, R, G, L, e C sono considerate per unità di lunghezza. Imponendo le opportune condizioni al contorno per queste due equazioni si hanno le soluzioni generali.
Linea non dissipativa Il caso di linea non dissipativa implica che e le equazioni (1) e (2) si riducono a:
(5)
(6)
derivando la (5) rispetto a x e la (6) rispetto a t:
che uguagliando danno:
(7)
e analogamente derivando la (5) rispetto a t e la (6) rispetto a x:
(8)
Le equazioni (7) e (8) sono due tipiche equazioni delle onde unidimensionali, le cui soluzioni sono onde che si propagano con velocità costante pari a:
(9) .
In generale, per un'onda elettromagnetica all'interno di un mezzo non dissipativo, si ha che:
(10)
che prende il nome di velocità di fase, è la permeabilità magnetica e è la costante dielettrica del mezzo e quindi, confrontando la (9) e la (10):
(11)
La soluzione generale delle (5) e (6) è del tipo:
(12)
(13)
cioè in generale possono coesistere onde di tensione e di corrente sia progressive che regressive, è chiaro che la soluzione esplicita dipende dalla forma della tensione d'ingresso . Si può ricavare l'espressione esplicita della costante per confronto delle due soluzioni:
(14)
che si chiama impedenza caratteristica della linea.
Da notare che le soluzioni sono quelle senza dissipazione e i campi sono di tipo TEM (trasversi elettromagnetici).
Linea in regime sinusoidale dissipativa Vediamo il caso notevole di generatore di onda sinusoidale. In tal caso, anche la tensione e la corrente in un generico punto x della linea hanno andamento sinusoidale e, applicando il metodo simbolico, scriviamo:
con con
dove j è l'unità immaginaria e è la frequenza angolare o pulsazione, tenendo presente che ha significato fisico solo la parte reale delle grandezze complesse così introdotte, eventuali fasi iniziali e, in generale, termini additivi costanti presenti all'esponente di ciascun esponenziale complesso vengono inclusi nei termini complessi e .
È possibile, allora, provare che dalle equazioni (1) e (2) si ottiene:
(15)
(16)
dove
(17)
è la cosiddetta costante di propagazione e dove ed sono, rispettivamente, l'impedenza per unità di lunghezza e l'ammettenza per unità di lunghezza della linea.
La soluzione generale di queste equazioni (15) e (16) è:
(20)
(21)
dove
è un numero complesso che, come vedremo nel prossimo paragrafo, nel caso di linee non dissipative si riduce all'impedenza caratteristica
e dove
in modo che rappresenti la costante di attenuazione dell'onda e rappresenti la phase-shift cioè la costante di fase.
Supponendo , , ed esplicitando per avere la soluzione reale, otteniamo:
(22)
e analogamente:
(23)
per l'onda di corrente, dove sussiste anche la fase dovuta alla presenza di . Dalla (22) si vede bene che, nel caso più generale, coesistono due onde di tensione, una progressiva e una regressiva, la cui ampiezza si attenua esponenzialmente (per le dissipazioni) come (analogamente, come si vede dalla (23), coesistono due onde di corrente). La velocità di propagazione è la velocità di fase ed è data da:
(24)
con lunghezza d'onda:
(25)
Utilizzando la (24) e la (25), possiamo dare un'altra forma alla (22):
(26)
e, analogamente, alla (23):
(27)
Regime sinusoidale non dissipativo Nel caso non dissipativo, cioè qualora , dalla (17), l'espressione del parametro si riduce a:
pertanto, in tal caso, , quindi non vi è attenuazione, e . Allora, per la (24), la velocità di fase diventa:
(24')
e ritroviamo l'espressione (9) della velocità di propagazione in una linea non dissipativa data dalle equazioni delle onde (7) e (8).
La (26) diventa in questo caso:
dove al solito . Il parametro rappresenta il ritardo per unità di lunghezza della linea di trasmissione, che ci dice come le linee di trasmissione propaghino i segnali con ritardo, ma senza attenuazione del segnale.
Un caso particolare per l'onda di corrente (23) è quando si annulla la fase , la quale è l'argomento del numero complesso
e vale
Ciò avviene per:
caso generale che affronteremo nel prossimo paragrafo, e in particolare avviene per
che corrisponde di nuovo alla condizione non dissipativa. In tal caso si riduce ad essere reale:
e quindi si riduce all'impedenza caratteristica, poiché
e l'onda di corrente (27) si riduce a:
Caso non distorcente Dalla (17):
si vede che nel caso in cui è verificata la condizione, nota come condizione di Heaviside:
(28)
si ha:
da cui:
e
In tal caso, quindi, non dipende più dalla frequenza e è linearmente crescente con la frequenza, mentre la velocità di propagazione non dipende dalla frequenza:
(24'')
come nel caso di linea non dissipativa.
Tutto ciò ci dice che la condizione (28) è la condizione di non distorsione, cioè che il segnale che si propaga entro la linea può essere attenuato ma, a meno dell'attenuazione, mantiene la stessa forma d'onda originaria.
Per quanto riguarda l'onda di corrente (23), ragionando allo stesso modo sui parametri , e , si comprende che la condizione di non distorsione è sempre:
ed anche in tal caso la fase di si annulla:
.
diviene quindi reale e indipendente dalla frequenza, in quanto:
.
Allo stesso risultato si può arrivare direttamente dalla definizione di :
Si noti che si arriva alla stessa espressione ottenuta nel caso della linea di trasmissione non dissipativa. In questo caso però l'attenuazione è ancora presente, visto che e sono in generale differenti da .
Fattore di velocità e lunghezza elettrica
Abbiamo visto, con la (24), che, in regime sinusoidale, fissata la frequenza e quindi la pulsazione, la velocità di propagazione entro una linea è
e, in particolare, se la linea è non dissipativa, o non distorcente, per la (24') o per la (24''), si ha:
In generale, ad una data frequenza, si definisce fattore di velocità in una linea di trasmissione, spesso indicato con (dall'inglese velocity factor) il rapporto tra la velocità di propagazione entro la linea e la velocità di propagazione c dei segnali elettromagnetici nel vuoto:
Evidentemente, nel caso di una linea non dissipativa o non distorcente, esso non dipende dalla frequenza e si ha:
Essendo, in base alla teoria della relatività ristretta, c la massima velocità possibile, necessariamente si ha:
Come mostra la (10), la velocità di propagazione entro una linea è correlata al dielettrico in essa impiegato, cioè al materiale isolante che separa i due conduttori con cui è realizzata la linea. Per esempio, ecco una tabella che mostra il fattore di velocità per alcuni cavi coassiali presenti in commercio, il quale può essere approssimato come costante nell'approssimazione di trattare tali cavi come linee non dissipative:
Cavo coassialeFattore di velocitàRG 58 C/U MIL M17/0280,66RG214/U MIL M17/075/U MIL M17/0750,66RG 58 C/U FOAM0,80RG 213/U TYPE0,66FOAM XT24000,81
Dalla (25) si può vedere che un'applicazione del fattore di velocità è quella di calcolare, a parità di frequenza, di quanto diminuisce la lunghezza d'onda entro la linea rispetto a quella che si avrebbe nel vuoto, o in una linea avente il vuoto come dielettrico. Infatti, fissata la frequenza, è facile mostrare che la lunghezza d'onda che si ha entro la linea è ridotta rispetto a quella nel vuoto di un fattore pari proprio al fattore di velocità, cioè:
(25')
La (25') può essere generalizzata per una lunghezza generica che non sia necessariamente la lunghezza d'onda, osservando che, a parità di tempo di propagazione di un segnale, la lunghezza percorsa dal segnale entro la linea diminuisce, rispetto alla lunghezza che sarebbe percorsa nel vuoto, o in una linea avente il vuoto come dielettrico, di un fattore pari proprio al fattore di velocità, cioè:
(25'')
Se come lunghezza si considera proprio la lunghezza geometrica di un tratto di linea di trasmissione, la corrispondente lunghezza che sarebbe percorsa nel vuoto prende il nome di lunghezza elettrica dello stesso tratto di linea e risulta maggiore della lunghezza geometrica.
Impedenza d'ingresso e coefficiente di riflessione lungo la linea
Impedenza d'ingresso in un punto della linea
Si definisce impedenza d'ingresso in un generico punto di una linea di trasmissione il rapporto tra la tensione ai capi di un generatore e la corrente erogata dallo stesso generatore connesso in quel punto della linea. In regime sinusoidale, indicate con e , rispettivamente, la tensione e la corrente in un generico punto x della linea, l'impedenza d'ingresso in tal punto è definita come:
(29)
Anche se il generatore è connesso a inizio linea, ossia nel punto , anche in un altro punto x della linea l'impedenza d'ingresso è comunque espressa dalla (29).