In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, il raggio di iniettività è un numero reale positivo che misura il "grado di collassamento" di una varietà riemanniana in un punto o globalmente.

Definizione Sia una varietà riemanniana. Per ogni punto di è definita la mappa esponenziale

su un insieme aperto dello spazio tangente in , contenente l'origine.

Sullo spazio tangente è definito un prodotto scalare, dato dal tensore metrico della varietà. Risulta quindi definita la palla di raggio centrata nell'origine

Il raggio di iniettività di in è il massimo tale che la mappa

è iniettiva. Viene spesso indicato con

Il raggio di iniettività di è quindi definito come l'estremo inferiore di tutti i raggi di iniettività nei punti:

Proprietà Raggio locale positivo Il differenziale di è invertibile. Per il teorema di invertibilità locale, la funzione è quindi un diffeomorfismo locale nell'origine: il raggio di iniettività è quindi strettamente positivo in ogni punto .

Geodetiche Se la varietà è completa, il raggio di iniettività è pari a metà della minima lunghezza di una geodetica chiusa passante per .

Compattezza e raggio globale Se la varietà è compatta, il raggio di iniettività globale è maggiore di zero. Qualsiasi geodetica chiusa ha quindi lunghezza maggiore di .

Bibliografia

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Voci correlate Mappa esponenziale Funzione iniettiva Geometria differenziale Varietà riemanniana Diffeomorfismo locale

Categoria:Geometria riemanniana