Un numero indice (o semplicemente indice) è un numero che esprime il variare dell'intensità di un dato fenomeno in circostanze diverse. Vi sono ad esempio gli indici di prezzo, che esprimono l'andamento nel tempo del livello dei prezzi in una data area geografica, e le parità dei poteri d'acquisto, che consentono di confrontare i livelli dei prezzi in località diverse in un dato momento.
Numeri indice semplici Un numero indice semplice è il rapporto tra due numeri. Vi sono numeri indice temporali e territoriali. Ad esempio:Dati tratti da . la popolazione residente in Italia ammontava a 58.462.375 unità al 1º gennaio 2005, diventate poi 58.751.711 al 1º gennaio 2006 e 59.131.287 al 1º gennaio 2007; il numero indice temporale che misura l'incremento dal 2005 al 2007 è:
ovvero la popolazione residente è aumentata dell'1,14%; la popolazione residente nella Lombardia e nella Campania al 1º gennaio 2007 ammontava, rispettivamente, a 9.545.441 ed a 5.790.187; il numero indice territoriale:
ci dice che, al 1º gennaio 2007, la popolazione residente della Lombardia superava quella della Campania del 64,86%.
Si usa spesso moltiplicare il numero indice per 100; in tal modo si usano meno cifre decimali e basta sottrarre 100 per ottenere la variazione percentuale. A rigore, tuttavia, il numero indice è il semplice rapporto tra le due grandezze considerate.
La grandezza posta al denominatore viene detta base dell'indice.
Se si confrontano solo due momenti o due luoghi gli indici vengono detti bilaterali, multilaterali se si considerano più di due momenti o luoghi. Gli indici multilaterali possono essere: a base fissa: si sceglie un momento o luogo che funge da base per i restanti; ad esempio, considerando l'andamento nel tempo della popolazione residente in Italia e prendendo come base il 1º gennaio 2005, si ha: numero indice per la popolazione al 1º gennaio 2006:; numero indice per la popolazione al 1º gennaio 2007:; a base mobile: ciascun indice viene calcolato rispetto ad una base diversa, ad esempio ciascun anno con il precedente, ciascun luogo con quello immediatamente adiacente; nel caso della popolazione residente in Italia si ha: numero indice per la popolazione al 1º gennaio 2006:; numero indice per la popolazione al 1º gennaio 2007:. Nel caso dei numeri indice semplici, si ha sempre la possibilità di passare da indici a base mobile ad indici a base fissa e viceversa; infatti, indicando con 0 la base fissa e con S,T due luoghi o tempi diversi, per una qualsiasi grandezza X si ha:
nonché:
Ad esempio, noti gli indici a base mobile della popolazione residente (2007 sul 2006 e 2006 sul 2005), si può calcolare l'indice del 2007 con base 2005 semplicemente moltiplicandoli:
Analogamente, noti gli indici a base fissa 2005 si ha:
Numeri indice complessi Vi sono aggregati, quali i consumi delle famiglie o le vendite delle imprese, che possono variare in funzione sia delle quantità o volumi dei beni acquistati o venduti, sia dei loro prezzi. In tali casi si usano numeri indice complessi, che diano soluzione al seguente problema: siano e , rispettivamente, il prezzo e la quantità (o volume) dell'i-esimo bene o servizio (i = 1,2,...,N) al tempo (o nella località) 0; siano e , rispettivamente, il prezzo e la quantità (o volume) delli-esimo bene o servizio al tempo (o nella località) 1; siano e , rispettivamente, i valori (spesa delle famiglie, vendite delle imprese, ecc.) al tempo (o nella località) 0 e al tempo (o nella località) 1; sia l'insieme dei prezzi di N beni o servizi al tempo (o luogo) 0, e siano definiti in modo analogo; trovare un indice di prezzo ed un indice di quantità tali che:
tali cioè che sia possibile determinare le variazioni dei prezzi e delle quantità che hanno dato luogo alla variazione complessiva del valore.
Non si possono utilizzare indici semplici dei prezzi o delle quantità, in quanto i prezzi incidono sul valore complessivo secondo le quantità: una forte variazione di prezzo incide poco se relativa ad un bene la cui quantità acquistata o venduta è bassa, molto in caso contrario; analogamente, le quantità incidono sul valore complessivo secondo i prezzi. Sono quindi necessari indici dei prezzi in cui i prezzi siano ponderati con le quantità, indici di quantità in cui le quantità siano ponderate con i prezzi.Il Leti (Statistica descrittiva, 1983, pp. 486-487) ricorda l'indice dei prezzi di Gian Rinaldo Carli, che, per misurare l'effetto sui prezzi della scoperta dell'America, calcolò gli indici semplici dei prezzi di tre beni (grano, vino ed olio) fra il 1400 ed il 1750 e ne fece poi la media aritmetica:
L'inconveniente di un tale approccio risiede nel fatto, come sottolinea il Leti, che «una variazione in più del 10% del prezzo di una merce, il cui consumo è 1, incrementa il numeratore dell'indice di 10 unità, quanto la variazione del 10% del prezzo di una merce, il cui consumo è 10.000».
Sono possibili diversi approcci: statistico (o classico), assiomatico e (micro)economico, con importanti differenze secondo che si tratti di indici bilaterali o multilaterali.
Numeri indice bilaterali Si dicono bilaterali gli indici che esprimono la variazione di intensità di un fenomeno (in genere prezzi o quantità) tra due soli momenti o luoghi.
Approccio statistico Nell'approccio statistico i prezzi vengono ponderati con le quantità del tempo (o luogo) scelto come base, con quelle del tempo (o luogo) per il quale l'indice viene calcolato, o con una loro media.
Analogamente viene fatto per gli indici di quantità. Nel seguito tuttavia si farà riferimento, per brevità, solamente ad indici relativi a variazioni di prezzo nel tempo.
In particolare, si hanno: l'indice di Laspeyres dei prezzi di un aggregato costituito da N beni, che è una media ponderata di N indici semplici di prezzo, nella quale si usano come pesi le quote del valore di ciascun bene sul valore complessivo come risultavano al tempo 0:
dove: e quindi:
l'indice di Paasche, che è una media armonica ponderata degli indici semplici, nella quale si usano come pesi le quote di valore al tempo corrente (quello relativamente al quale l'indice viene calcolato):
dove: e quindi:
l'indice di Fisher, media geometrica dei due precedenti:
l'indice di Marshall e Edgeworth, che usa la media aritmetica delle quantità tra il tempo 0 e il tempo 1:
l'indice di Walsh, che usa la media geometrica delle quantità:
l'indice di Törnqvist, che è una media geometrica ponderata degli indici semplici, nella quale si usano come pesi le medie aritmetiche delle quote di valore dei beni sul valore complessivo:
dove: .
L'indice di Laspeyres tende a sovrastimare l'aumento dei prezzi. Se il prezzo di un bene aumenta, infatti, normalmente la quantità di esso che viene consumata diminuisce; ne dovrebbe seguire un peso minore del bene al tempo 1, ma, usando il peso che il bene aveva al tempo 0, l'indice semplice del prezzo di quel bene viene aggiunto agli altri con un peso eccessivo.
L'indice di Paasche tende invece a sottostimare l'aumento dei prezzi per il motivo opposto: i prezzi dei beni che aumentano di più vengono ponderati secondo le quantità al tempo 1, quindi con pesi che già scontano la riduzione delle quantità conseguenti all'aumento di prezzo.
Gli indici di Marshall e Edgeworth e quello di Walsh sembrano risentire meno del problema, ma ne presentano un altro: nei confronti tra i prezzi di paesi diversi in uno stesso arco di tempo, la ponderazione risulta fortemente influenzata dal paese più grande.
Approccio assiomatico Nell'approccio assiomatico si definiscono i test che un indice complesso deve superare per essere adeguato allo scopo per il quale viene elaborato.
Sono stati definiti numerosi test.W.E. Diewert ne riporta 9 nel suo «Index Numbers» del 1993, che diventano 21 in quello del 2007. I più usati sono:
identità: se prezzi e quantità sono uguali sia al tempo 0 che al tempo 1, l'indice deve valere 1; l'identità deve sussistere anche se tutte le quantità al tempo 0 vengono moltiplicate per uno stesso coefficiente α e tutte quelle al tempo 1 per uno stesso coefficiente β; ovvero, se e , allora per qualsiasi α>0 e per qualsiasi β>0: proporzionalità: se tutti i prezzi al tempo 1 sono moltiplicati per un coefficiente α>0, l'indice dei prezzi risulta anch'esso moltiplicato per α: indipendenza dall'unità di misura: l'indice deve rimanere invariato se cambia l'unità di misura (ad esempio, se si usano tonnellate invece che quintali per il grano, la quantità risulta divisa per 10 e il prezzo moltiplicato per 10; analogamente per altre merci), quindi per qualsiasi αi 0: determinatezza: l'indice non deve annullarsi né tendere all'infinito se uno dei termini elementari della formula si annulla o tende all'infinito (può succedere, ad esempio, se la quantità di un bene risulta nulla al tempo 0 o al tempo 1); reversibilità delle basi:Si parla in tal caso anche di test di inversione temporale o inversione spaziale in base al contesto di riferimento. l'indice al tempo 0 con base 1 deve essere il reciproco dell'indice al tempo 1 con base 0: inversione dei fattori: l'indice che esprime la variazione del valore (prezzi per quantità) deve essere uguale al prodotto degli indici dei prezzi e delle quantità: transitività (o circolarità): se si hanno due indici bilaterali, l'uno dal tempo 0 al tempo 1 e l'altro dal tempo 1 al tempo 2, l'indice bilaterale dal tempo 0 al tempo 2 deve essere uguale al loro prodotto:
Gli indici di Laspeyres e di Paasche soddisfano solo i primi quattro test.
L'indice di Törnqvist e quelli di Marshall e Edgeworth e di Walsh superano anche il test di reversibilità delle basi.
L'indice di Fisher supera tutti i test tranne la transitività.
Approccio microeconomico Gli indici di Laspeyres e di Paasche, come già notato, risentono di una distorsione da sostituzione in quanto, usando come pesi l'uno le quantità al tempo 0 e l'altro quelle al tempo 1, non tengono conto dell'effetto sostituzione, cioè delle variazioni di quantità indotte da variazioni dei prezzi (i consumatori tendono, normalmente, a sostituire un bene il cui prezzo è aumentato con un altro il cui prezzo sia aumentato meno o diminuito).
L'approccio microeconomico tenta di tenere conto di tali variazioni delle quantità, assumendo che il consumatore reagisca a variazioni dei prezzi modificando le proprie abitudini di consumo in modo da mantenere costante il proprio livello di utilità, minimizzando la spesa. In altri termini, tenta di costruire un indice del costo della vita misurando l'aumento di spesa necessario per mantenere costante il grado di soddisfazione insito nel tenore di vita.
Si possono definire due indici, secondo che si consideri costante il livello di utilità iniziale o finale. In particolare, indicando con la funzione di spesa, cioè l'esborso minimo necessario, dato il vettore dei prezzi pa, a raggiungere il livello di utilità garantito dal consumo del paniere qb, abbiamo:
l'''indice di Könus-Laspeyres:
lindice di Könus-Paasche:
Si tratta di indici non concretamente applicabili, per l'impossibilità di rilevare le funzioni di utilità (oppure, equivalentemente, le curve di indifferenza o le preferenze rivelate) per l'intera popolazione.Hal R. Varian, «Revealed Preference», 2006.
Si può tuttavia osservare che: come già notato, l'indice di Laspeyres tende a sovrastimare l'aumento dei prezzi, quello di Paasche a sottostimarlo; in generale, quindi, si avrà: ;
l'indice di Könus-Laspeyres è minore di quello di Laspeyres, in quanto tiene conto del minor consumo dei beni il cui prezzo relativo è aumentato; l'indice di Könus-Paasche è maggiore di quello di Paasche, in quanto tiene conto del maggior consumo che si aveva inizialmente dei beni il cui prezzo relativo è aumentato; l'indice di Fisher, essendo media geometrica di quelli di Laspeyres e di Paasche, è intermedio tra i due: , e costituisce pertanto una buona approssimazione ad un indice del costo della vita.