I punti antipodali su una sfera generalizzano il concetto geografico di punti antipodali sulla Terra anche a sfere di dimensioni arbitrarie.
Definizione Una sfera di dimensione è descritta dall'equazione
nello spazio euclideo -dimensionale .
Il punto antipodale ad un punto è il punto : tutte le coordinate cambiano cioè di segno.
Spazio quoziente Lo spazio quoziente rispetto alla relazione di equivalenza di antipodalità è lo spazio proiettivo reale, oggetto fondamentale della geometria proiettiva.
Mappa antipodale La funzione che associa ad ogni punto di una sfera il suo antipodale è detta mappa antipodale.
La mappa antipodale preserva l'orientazione della sfera se e solo se è dispari. Infatti la funzione è la restrizione della funzione lineare
associata alla matrice opposta alla matrice identità . Il determinante di questa matrice è , ed il suo segno è quindi effettivamente positivo solo per dispari.
Per questo motivo, lo spazio proiettivo è orientabile solo per dispari.
Teorema di Borsuk-Ulam
Il teorema di Borsuk-Ulam è un risultato di topologia riguardante i punti antipodali in dimensione arbitraria: asserisce che ogni funzione continua da una sfera in uno spazio euclideo della stessa dimensione manda due punti antipodali sullo stesso punto (in particolare, non può essere iniettiva).
Voci correlate Spazio proiettivo Teorema di Borsuk-Ulam
Categoria:Topologia