In analisi numerica l'interpolazione di Lagrange è un particolare tipo di interpolazione polinomiale, fu scoperta per la prima volta da Edward Waring nel 1779, successivamente da Leonhard Euler nel 1783 e infine riscoperta da Joseph Louis Lagrange nel 1795.
Definizione Data una funzione e punti per cui sono noti i valori si definisce il polinomio interpolatore di Lagrange della funzione il polinomio
Proprietà Per ogni si ha e per qualsiasi si ha
dove è un valore incognito funzione di appartenente all'intervallo minimo a cui appartengono i punti e .
Dimostrazione Per semplicità scriviamo
Per cui
dove
Si ha che per ogni poiché l'espressione di contiene un fattore al numeratore. Ma per ogni da cui .
Considerando la funzione
quando per ogni , essa ha zeri nei punti e , derivando volte,
Dall'applicazione del teorema di Rolle per volte la funzione ha almeno uno zero nell'intervallo minimo che contiene e .
Poiché è un polinomio di grado il cui coefficiente di è 1, per cui , invece è un polinomio di grado per cui . Infine
da cui
Voci correlate Interpolazione Analisi numerica
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