Il concetto di gruppo spaziale è nato nell'ambito dello studio delle disposizioni nello spazio di oggetti tridimensionali. L'argomento è stato affrontato da alcuni matematici nel XIX secolo, in particolare Barlow, Fedorov, Sohncke e Schoenflies.

Essi provarono a combinare tutte le classi di simmetria puntuale possibili con le operazioni traslazionali sia semplici che complesse (piani di scorrimento e assi di roto-traslazione) ed ottennero tutte le possibili disposizioni in uno spazio a tre dimensioni di oggetti tridimensionali.

Si poté così dimostrare che ciascun oggetto ordinato e periodico nelle tre dimensioni deve necessariamente appartenere ad uno di 230 gruppi spaziali.

Le operazioni di simmetria di ognuno dei 230 gruppi spaziali, costituiscono un gruppo nel senso matematico del termine. In questo caso la legge di combinazione è la semplice applicazione successiva delle operazioni di simmetria.

Simbologia Per indicare il gruppo spaziale di appartenenza di un cristallo se ne può indicare il numero poiché ad ognuno di essi è stato convenzionalmente assegnato un numero progressivo (da 1 a 230).

In alternativa si può usare una simbologia composta da due parti: Una lettera maiuscola che identifica il tipo di reticolo: P - primitivo C - centratura della faccia C (in modo analogo con A oppure B) F - centratura di tutte le facce I - centratura del corpo Simboli delle simmetrie indicati con il sistema Hermann-Mauguin. L'ordine dei simboli dipende dal reticolo di Bravais considerato.

Gruppo cristallino

In cristallografia, prendendo come riferimento per la classificazione i parametri delle facce dei cristalli, si possono individuare tre gruppi cristallini:

monometrico: i tre parametri sono uguali; dimetrico: vi sono due parametri uguali; trimetrico: tutti e tre i parametri sono diversi tra loro.

Operazioni di simmetria In 3 dimensioni, i gruppi spaziali sono formati dalla combinazione dei 32 gruppi puntuali con i 14 reticoli di Bravais, ognuno dei quali già appartiene ad uno dei 7 sistemi cristallini. Ciò comporta come il gruppo spaziale possegga elementi tipici di questi tre sistemi. Traslazioni Le traslazioni formano un gruppo abeliano di ordine 3, chiamato reticolo di Bravais. Questo determina le dimensioni e gli angoli della cella primitiva del gruppo spaziale, nonché le sue caratteristiche di traslazione nello spazio.

Piano glide (slittopiano) Il piano glide (o slittopiano) consiste nella riflessione attraverso un piano di simmetria ed una successiva traslazione parallelamente a quel piano. È denominato a, b, c, n o d a seconda dell'orientamento del piano rispetto alle assi primarie della cella elementare.

Asse screw (elicogira) Questo asse di simmetria consiste nella rotazione attorno all'asse, seguita da una traslazione nella stessa direzione dell'asse. Viene denotata da un numero, N, a seconda del grado di rotazione (ad esempio, N=3 indica una rotazione di 120°). La quantità di traslazione è indicata con un pedice successivo al numero N che indica quanto lunga è la traslazione in funzione della lunghezza del vettore fondamentale. Ad esempio, la dicitura 21 indica una rotazione di 180° seguita da una traslazione di lunghezza pari ad 1/2 rispetto al vettore fondamentale.

Lista dei gruppi spaziali in tre dimensioni

#Sistema cristallinoGruppo puntuale Gruppo spaziale (notazione internazionale) Hermann-Mauguin Schoenflies 1Triclino (2) 1 C1 P1 2 Ci P 3–5Monoclino (13) 2 C2 P2, P21, C2 6–9 m Cs Pm, Pc, Cm, Cc 10–15 2/m C2h P2/m, P21/m, C2/m, P2/c, P21/c, C2/c 16–24Ortorombico (59) 222 D2 P222, P2221, P21212, P212121, C2221, C222, F222, I222, I212121 25–46 mm2 C2v Pmm2, Pmc21, Pcc2, Pma2, Pca21, Pnc2, Pmn21, Pba2, Pna21, Pnn2, Cmm2, Cmc21, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2, Fmm2, Fdd2, Imm2, Iba2, Ima2 47–74 mmm D2h Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma, Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce, Fmmm, Fddd, Immm, Ibam, Ibca, Imma 75–80 Tetragonale (68) 4 C4 P4, P41, P42, P43, I4, I41 81–82 S4 P, I 83–88 4/m C4h P4/m, P42/m, P4/n, P42/n, I4/m, I41/a 89–98 422 D4 P422, P4212, P4122, P41212, P4222, P42212, P4322, P43212, I422, I4122 99–110 4mm C4v P4mm, P4bm, P42cm, P42nm, P4cc, P4nc, P42mc, P42bc, I4mm, I4cm, I41md, I41cd 111–122 2m D2d P2m, P2c, P21m, P21c, Pm2, Pc2, Pb2, Pn2, Im2, Ic2, I2m, I2d 123–142 4/mmm D4h P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P42/mmc, P42/mcm, P42/nbc, P42/nnm, P42/mbc, P42/mnm, P42/nmc, P42/ncm, I4/mmm, I4/mcm, I41/amd, I41/acd 143–146Trigonale (25) 3 C3 P3, P31, P32, R3 147–148 S6 P, R 149–155 32 D3 P312, P321, P3112, P3121, P3212, P3221, R32 156–161 3m C3v P3m1, P31m, P3c1, P31c, R3m, R3c 162–167 m D3d P1m, P1c, Pm1, Pc1, Rm, Rc,   168–173 Esagonale (27) 6 C6 P6, P61, P65, P62, P64, P63 174 C3h P 175–176 6/m C6h P6/m, P63/m 177–182 622 D6 P622, P6122, P6522, P6222, P6422, P6322 183–186 6mm C6v P6mm, P6cc, P63cm, P63mc 187–190 m2 D3h Pm2, Pc2, P2m, P2c 191–194 6/mmm D6h P6/mmm, P6/mcc, P63/mcm, P63/mmc 195–199Cubico (36) 23 T P23, F23, I23, P213, I213 200–206 m Th Pm, Pn, Fm, Fd, Im, Pa, Ia 207–214 432 O P432, P4232, F432, F4132, I432, P4332, P4132, I4132 215–220 3m Td P3m, F3m, I3m, P3n, F3c, I3d 221–230 mm Oh Pmm, Pnn, Pmn, Pnm, Fmm, Fmc, Fdm, Fdc, Imm, Iad

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