In matematica, la trasformazione binomiale è una trasformazione di una successione tramite differenze finite. Le trasformazioni binomiali sono strettamente legate alla somma di Eulero.
Descrizione La trasformazione binomiale di una successione è la successione definita come:
Formalmente si può scrivere , dove è un operatore definito su un opportuno spazio di successioni con matrice infinita :
La trasformazione è un'involuzione, vale a dire:
o equivalentemente:
dove è il delta di Kronecker. La successione originale si ritrova dunque tramite la stessa formula:
I primi termini della successione trasformata sono i seguenti:
dove è l'operatore di differenza finita in avanti. Alcuni studiosi definiscono la trasformazione binomiale con un altro segno:
In questo modo essa non è più involutoria; la sua inversa invece è:
Operatore di Shift La trasformazione binomiale è l'operatore di shift per i numeri di Bell:
dove sono i numeri di Bell.
Funzione generatrice La trasformazione connette funzioni generatrici associate alla serie. Per la funzione generatrice ordinaria, sia:
e:
allora:
Generalizzazione Si può definire un'altra trasformazione ponendo:
che fornisce:
dove e sono le ordinarie funzioni generatrici associate alle serie e rispettivamente. Nel caso in cui la trasformazione binomiale sia definita come:
Si ponga questa somma uguale alla funzione . Considerando una nuova tabella delle differenze all'indietro, se si prendono i primi elementi di ogni riga per formare una nuova successione allora la trasformazione binomiale seconda della successione originale è:
Ripetendo questo procedimento k volte segue che:
il cui inverso è:
Si può generalizzare ciò come:
dove è l'operatore di shift. Il suo inverso è:
Bibliografia John H. Conway and Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA. Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform Michael Z. Spivey and Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform Borisov B. and Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82
Voci correlate Differenza finita Somma di Eulero Spazio delle successioni Successione (matematica)
Collegamenti esterni
Categoria:Successioni Binomiale