In matematica, 1 − 2 + 4 − 8 + ... è una serie infinita i cui termini sono i successivi fattori di due a segno alternato. Come una serie geometrica, essa è caratterizzata da un primo termine, 1, e da una proporzione comune, −2.
È possibile con un piccolo accorgimento, scrivere la serie come differenza di altre due serie, separando le potenze pari e dispari:
che corrisponde a . Sommatoria numero 1 Analizziamo ora la prima sommatoria: .
1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere facendo diventare la somma ;
2) Ponendo un numero m come punto finale otterremo che:
Sommatoria numero 2 Analizziamo ora la seconda sommatoria: .
1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere facendo diventare la somma , il si può portare fuori e ottenere .
2) Ponendo un numero m come punto finale otterremo che:.
Somma parziale Ritornando alla somma iniziale possiamo discutere la sua somma parziale. Valore Dispari Caso nº1: il numero è dispari.
La somma diventa quindi:
Più precisamente abbiamo che: Valore Pari Caso nº2: il numero è pari.
La somma diventa quindi: . In generale Abbiamo così ottenuto le formule per calcolare la somma in tutti i casi:
m dispari =
m pari =
Voci correlate 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
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