Nella relatività ristretta il quadrimpulso è la generalizzazione quadrivettoriale della quantità di moto della meccanica classica, cioè un vettore dello spaziotempo quadrimensionale sempre tangente alla traiettoria, o linea d'universo, di una particella.
Come per ogni quadrivettore, è possibile distinguere le componenti spaziali da quella temporale: in un sistema di coordinate ortonormali la parte spaziale del quadrimpulso è formata dalle componenti dell'ordinaria quantità di moto moltiplicata per il fattore di Lorentz, mentre la parte temporale è data dall'energia della particella divisa per la velocità della luce.
Definizione Data una particella con velocità , il corrispondente quadrimpulso è dato da:.
dove sono le componenti della quadrivelocità, è la massa a riposo, è il fattore di Lorentz, e sono gli usuali vettori tridimensionali velocità e quantità di moto, e c è la velocità della luce. Le componenti spaziali di sono dunque le componenti della quantità di moto classica moltiplicata per il fattore .
Derivazione Sia il quadrivettore posizione, che identifica la posizione della particella rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, il sistema del laboratorio. Differenziando si ha:
Il tempo proprio è il tempo che misurerebbe un orologio posto su una particella in moto vario nello spaziotempo come se si muovesse di moto rettilineo uniforme. In simboli:
dove indica il tensore metrico dello spazio-tempo di Minkowski, utilizzando la segnatura . Si ha pertanto:
Il tempo proprio è una grandezza che permette di parametrizzare la traiettoria di un corpo, in quanto è un invariante sotto trasformazioni di Lorentz (poiché è proporzionale a ).
La quadrivelocità è data da:
ed utilizzando la formula di derivazione composta può essere espressa in funzione dell'ordinaria velocità :
La quadriquantità di moto è dunque definita, similmente al corrispettivo classico, come il prodotto tra la quadrivelocità e la massa a riposo del corpo.
Dal quadrimpulso si definisce la quadriforza.
Conservazione dell'energia L'energia di una particella è definita come la velocità della luce moltiplicata per la componente temporale del quadrimpulso , ovvero:
ed è una quantità che dipende dalla velocità . Analizzando lo scattering elastico tra due particelle identiche, ed espandendo in serie di Taylor per piccoli angoli l'energia del sistema, si giunge a dimostrare che se l'energia si conserva allora:.
Si tratta dell'estensione relativistica dell'energia cinetica, più una quantità di energia costante pari a , che rappresenta l'energia a riposo della particella, interpretabile come quell'energia che la particella ferma possiede per il fatto di avere massa.
La velocità è espressa in termini del quadrimpulso con la relazione:
e dal fatto che la quantità:
è invariante, segue che:
Norma quadra Nello spaziotempo di Minkowski la norma di un quadrivettore è un invariante di Lorentz:
In modo equivalente:
Quest'ultima quantità coincide con la massa invariante del sistema. Il risultato è prevedibile considerando il fatto che i quadrivettori velocità hanno norma quadrata e il quadrimpulso è un quadrivettore velocità per uno scalare . La norma quadrata negativa implica che i quadrivettori velocità e impulso siano di tipo tempo, e cambiando il segno alla segnatura la norma quadra cambia di segno.
Conservazione del quadrimpulso La conservazione del quadrimpulso nei sistemi isolati è uno dei principi fondamentali della dinamica relativistica. Esso include, per basse velocità, le leggi classiche della conservazione dell'energia e della quantità di moto: si conserva l'energia totale, pari a e si conserva la quantità di moto del sistema, pari alle componenti spaziali del quadrivettore.
Se la massa non cambia, il prodotto interno nello spaziotempo di Minkowski tra il quadrimpulso e la relativa quadriaccelerazione è nullo. Infatti, l'accelerazione è proporzionale alla derivata del quadrimpulso rispetto al tempo proprio, divisa per la massa della particella, e pertanto:
Si noti che la massa a riposo può non conservarsi, mentre si conserva la massa relativistica (che non è altro che l'energia). Per esempio, durante un urto tra particelle subatomiche, se due particelle di masse a riposo uguali che viaggiano l'una a e l'altra in senso opposto a si fondono nell'impatto in una sola particella, questa viaggerà ad una velocità pari a e avrà una massa , ben maggiore della somma delle masse iniziali. D'altra parte, la somma delle due masse relativistiche, pari ciascuna a e fornisce direttamente per la massa relativistica della particella risultante , correttamente pari alla massa a riposo moltiplicata per il fattore di Lorentz relativo (circa 1.0081).
Note
Bibliografia
See Chapter III for the orthogonal groups O(p,q). A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group. An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics. See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group. See also the See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups. An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group. See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.
Voci correlate Composizione delle velocità Quadrivettore Quadrivelocità Quantità di moto Spaziotempo di Minkowski Teoria della relatività Trasformazioni galileiane Trasformazione di Lorentz
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Categoria:Quadrivettori