Un'equazione differenziale esatta è un'equazione differenziale ordinaria riconducibile ad un differenziale esatto.
Definizione Si considerino un insieme semplicemente connesso e aperto e due funzioni e continue su . L'equazione differenziale implicita:
è un'equazione differenziale esatta se esiste una funzione differenziabile con continuità , detta potenziale, spesso indicato con , tale che:
Il termine "esatta" si riferisce alla derivata totale di una funzione, detta talvolta "derivata esatta", che per una funzione è data in da:
Nelle applicazioni fisiche e non sono solitamente solo continue, ma anche differenziabili con continuità, ed il teorema di Schwarz fornisce allora una condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza della funzione potenziale (per equazioni definite su un insieme non semplicemente connesso tale criterio è solo necessario). Esso esiste se e solo se:
Metodo risolutivo Per trovare la soluzione, si consideri l'equazione nella forma:
Integrando rispetto ad , dato che si tratta di una funzione in due variabili invece di una costante d'integrazione si ha una funzione in :
Dal momento che:
si ottiene l'uguaglianza:
e risolvendo rispetto ad si ha:
Integrando:
Sostituendo questo valore in si ottiene la soluzione finale dell'equazione:
Facendo la scelta opposta di variabili si ha, analogamente:
Queste sono soluzioni implicite, da cui si possono ricavare soluzioni esplicite solo se la P o la Q sono invertibili.
Esempio Sia dato:
con alcuni passaggi si ottiene:
di cui una soluzione banale è . Per calcolare le altre soluzioni, la condizione:
è soddisfatta e quindi si può calcolare l'integrale rispetto ad del primo termine:
Per la seconda parte si deve derivare questa funzione rispetto ad , sottrarla da , e poi integrare il tutto rispetto ad :
Quindi la soluzione implicita è:
da cui si ricava facilmente:
Casi particolari Un caso particolare è quello in cui l'equazione assume la forma:
Definendo , allora e . Sostituendo e risolvendo si ottengono due soluzioni:
Un altro caso particolare è quello in cui si ottiene una forma del tipo:
dove sostituendo in si ha una funzione nella sola variabile . Allora, ponendo si ha:
Sostituendo:
se , la soluzione banale è . Altrimenti:
integrando:
cioè:
con .
Equazioni differenziali riconducibili ad esatte Una variante delle equazioni differenziali esatte sono quelle per cui non vale l'uguaglianza delle derivate miste, ossia:
ed è possibile trovare una funzione , detta fattore d'integrazione, tale che:
Esplicitando le derivate:
e risolvendo rispetto a si ottiene:
Se è possibile trovare una funzione di questo tipo, allora si sostituiscono e al posto di e e se ne trovano le soluzioni (implicite). Generalmente questo è molto difficile o impossibile, tuttavia esistono due casi particolari in cui è possibile trovare tale funzione.
Primo caso Il primo metodo di risoluzione consiste nel cercare un fattore d'integrazione tale che
e dunque esplicitando:
Risolvendo rispetto a :
Per quanto detto sopra, la deve essere necessariamente funzione della sola , altrimenti non potrebbe essere nulla la derivata parziale di rispetto ad . La cosa si dimostra ricordando che deve essere uguale a . In questo caso si ha:
che è un'equazione differenziale lineare del primo ordine, la cui soluzione è:
Sostituendo dunque nell'equazione si ottiene:
che si risolve come nel caso precedente. Nulla cambia nel procedimento scegliendo nulla la derivata di rispetto ad , ovviamente scambiando con e con nelle formule sopra.
Esempio Sia dato:
Una soluzione banale è . Per le altre soluzioni, le derivate di rispetto ad e di rispetto ad non sono uguali. Provando a calcolare si ha:
Sostituendo:
integrando rispetto ad :
derivando rispetto ad si ottiene . Sostituendo:
la soluzione implicita è:
da cui:
Secondo caso Un secondo metodo consiste nel cercare una tale che:
In questo caso si ha:
che combinate danno:
e sostituendo nell'equazione con le derivate esplicite:
Risolvendo rispetto a si ha:
e con alcuni passaggi si ottiene:
Se si effettua una sostituzione si ha , e perciò:
Per quanto detto, deve essere necessariamente funzione della sola . Quindi:
Sostituendo quindi nell'equazione si ottiene un'equazione esatta, risolubile come in precedenza.
Bibliografia Vladimir Igorevich Arnold (1988): Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations, 2nd ed., Springer, ISBN 0-387-96649-8 Vladimir Igorevich Arnold (1992): Ordinary Differential Equations, Springer, ISBN 3-540-54813-0 Martin Braun (1993): Differential Equations and their Applications. An Introduction to Applied Mathematics, 4th ed., Springer, ISBN 0-387-97894-1
Voci correlate Equazione differenziale lineare Equazione differenziale lineare del secondo ordine Equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo Equazione differenziale ordinaria Funzione differenziabile Funzione liscia Metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie Metodi di soluzione numerica per equazioni differenziali ordinarie Problema ai valori iniziali Problema di Cauchy Teorema di Schwarz
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