La filosofia della matematica è la branca della filosofia della scienza che cerca di dare risposta a domande quali: "perché la matematica è utile nella descrizione della natura?", "in quale senso, qualora se ne trovi uno, le entità matematiche (in particolare i numeri) esistono?" "perché e in che modo gli enunciati matematici sono veri?". In questo articolo sono presentati i vari approcci che vengono seguiti per rispondere a questioni come le precedenti. È utile precisare che tre sono i problemi della filosofia della matematica: Un problema ontologico: risponde alla domanda "Esistono i numeri?"; Un problema metafisico: risponde alla domanda "Che cosa sono i numeri?"; Un problema epistemologico: "Come facciamo ad accedere epistemicamente alle verità della matematica o, meglio, come possiamo sapere che ciò che ci dice la matematica è vero?"; Questi sono i problemi che la maggior parte dei filosofi, oggigiorno, ritiene che debbano essere risolti da una buona filosofia della matematica.
Descrizione Relazione con la filosofia in generale «Mi propongo di parlare dei fondamenti della matematica. Un problema importante è posto dalla materia stessa: come posso io – o chiunque non sia un matematico – parlare di queste cose? Che diritto ha un filosofo di parlare di matematica?»
— L. Wittgenstein, Lezioni sui fondamenti della matematica, § 1.
Wittgenstein apre le sue lezioni sui fondamenti della matematica, a Cambridge, nel 1939, con questa domanda e si risponde poco più avanti dicendo « [...] Mi è possibile, come filosofo, parlare di matematica perché mi occuperò soltanto di certi rompicapi che nascono dalle parole del nostro comune linguaggio quotidiano, da parole come "dimostrazione", "numero", "serie", "ordine", ecc. Conosco il nostro linguaggio di tutti i giorni: ecco una ragione per cui posso parlare di questi termini». Il filosofo della matematica, dunque, ragiona sui termini e gli oggetti specifici della matematica, sulle sue relazioni e le sue specificità. Suo principale compito sarà quello di ragionare sugli oggetti specifici di questa materia, ossia i numeri e tentare di capire se essi esistono, cosa sono e come possiamo conoscerli. Questa disciplina, dunque, è fortemente relazionata con le branche dell'ontologia, della metafisica e dell'epistemologia; pur tuttavia non può essere inscritta in nessuna di queste tre branche, trovandosi, per così dire, nell'intersezione di esse. A queste tematiche, si deve aggiungere un attento studio delle diverse discipline matematiche, (dall'analisi, alla matematica discreta, ai diversi sistemi logici) e dei rapporti che intercorrono tra le matematiche e le scienze, (quest'ultimo è uno dei problemi più pressanti della filosofia della matematica contemporanea).
Alcuni filosofi della matematica considerano, inoltre, come loro compito quello di rendere conto della pratica della matematica così come si presenta, fornendo una loro interpretazione piuttosto che una loro critica. D'altra parte, le critiche possono implicare conseguenze importanti per la pratica della matematica e in questo senso la filosofia della matematica può interessare anche il lavoro del matematico. Questo vale in particolare per i nuovi settori nei quali il processo della revisione paritaria delle dimostrazioni matematiche non ha ancora carattere consolidato rendendo rilevante la probabilità che sfugga qualche errore. Si possono contenere questi errori capendo in quali situazioni risulta più probabile incorrano. Questa è considerata una delle principali preoccupazioni della filosofia della matematica.
Più recentemente alcuni suoi studiosi hanno anche cercato di collegare la matematica agli interessi generali della filosofia, in particolare all'epistemologia e all'etica. Queste tendenze sono trattate alla fine di questo articolo.
Perché la matematica funziona? Nella filosofia della matematica si individuano parecchie scuole o tendenze, che primariamente si impegnano su questioni di metafisica come quelle relative ai due seguenti interrogativi collegati ma logicamente distinti: "Perché la matematica funziona?" e "Per quale ragione la matematica spiega così bene il mondo fisico come noi lo vediamo?"
La scoperta/invenzione della logica matematica da parte di Frege, la derivazione dell'inconsistenza nel sistema logico da lui creato a opera di Russell, la costruzione dei problemi di Hilbert, l'inizio dello studio dei diversi modelli delle teorie sono solo alcuni passi fondamentali che hanno portato gli studiosi a ritenere la matematica non più così certa come in passato. In particolare, la diffusione delle geometrie non euclidee e la conseguente sfiducia nel kantismo hanno portato numerosi filosofi a cercare un'alternativa al sintetico a priori, quale era stato proposto da Kant, come risposta alla necessità delle verità matematiche. Le proposizioni della matematica, per Kant, erano universali e necessarie perché erano il prodotto delle nostre costruzioni concettuali sulle intuizioni di spazio e tempo. Lo spazio, in particolare, era ciò che fondava le verità della geometria euclidea, rendendole necessarie. Gli enunciati della geometria e dell'aritmetica erano, quindi, sintetici a priori: sintetici perché si riferivano a intuizioni pure (il nostro accesso allo spazio e al tempo), a priori poiché esse erano le nostre forme della sensibilità e, quindi, non potevano essere diversamente. La scoperta delle geometrie non euclidee mostrò, semplicemente, che la geometria euclidea non è che uno dei diversi (infiniti) modelli di geometria possibili, pur essendo l'unica oggettiva, perché intuitiva.
Volendo entrare più nel tecnico, ogni teoria matematica si scoprì essere un insieme di enunciati coerente dal punto di vista logico (ovvero senza contraddizioni). Ogni insieme di enunciati di un linguaggio logico L, se è coerente, ha almeno un modello. Un modello è una dupla <D,I>, dove D è un dominio, ossia un insieme di oggetti e I è la funzione di interpretazione che mappa ogni costante individuale del linguaggio L in cui è scritta la teoria con un oggetto del dominio e ogni simbolo relazionale con un insieme di n-uple di oggetti. Il fatto che ogni teoria avesse un modello, portò a ragionare sull'assiomatizzazione delle teorie, ossia la riduzione di esse a basi di assiomi, ossia di enunciati le cui conseguenze sono le stesse della teoria cui fanno da base. Ciò significa che ogni teoria ha infinite basi di assiomi, (infatti possiamo scrivere gli assiomi di Peano dell'aritmetica sotto diverse forme tutte ugualmente efficaci). La scoperta dell'assiomatizzazione, dell'esistenza di modelli di teorie differenti da quelle usate quotidianamente, lo sviluppo della teoria dei modelli e i risultati strabilianti che essa ha portato, hanno condotto i matematici a ragionare su che cosa significhi studiare una teoria matematica. Facendo un esempio, studiare l'aritmetica dei numeri naturali non è più una cosa così semplice, come lo poteva essere nel 1700. Infatti, l'aritmetica non studia più N come un insieme in sé stesso compiuto, ma la struttura algebrica, (il modello), <N, +, 0>, che avrà delle caratteristiche differenti in base al significato di questi simboli. Lo stesso N avrà una struttura differente se interpretato in un modello di ZFC o di ZF, ossia in base alla teoria degli insiemi che si è scelto di abbracciare — più o meno esplicitamente, (in questo caso la differenza, significativa, sta nell'adozione o meno dell'assioma della scelta). Questo fatto dovrebbe far ragionare anche sul concetto di "verità" in matematica. Cosa significa che è vero un enunciato piuttosto che un altro? Cosa significa un teorema? Qual è il suo potere epistemico? E metafisico?
All'inizio del XX secolo sono sorte tre scuole, intuizionismo, logicismo e formalismo. Ciascuna delle tre scuole si rivolge ai temi che vengono alla ribalta in quel periodo, o per cercare di risolverli, o per dichiarare che la matematica non merita lo status di conoscenza più degna di fede. Esse sono quasi interamente abbandonate. Vero è che alcune di esse sono rinate con nuovo fervore negli ultimi decenni. Nelle tre sezioni che seguono vengono presentate separatamente le tre scuole e i loro presupposti. Successivamente, riprendiamo con alcuni sviluppi odierni di queste scuole.
Realismo matematico, ovvero platonismo
Il realismo matematico sostiene che le entità matematiche esistono indipendentemente dalla mente umana. Quindi gli umani non inventano la matematica, ma piuttosto la scoprono, e ogni altro essere intelligente dell'universo presumibilmente farebbe lo stesso. Per questa posizione spesso si usa il termine platonismo in quanto essa si avvicina molto al credere di Platone in un "mondo delle idee", una realtà superiore immutabile che il mondo che ci si presenta quotidianamente può approssimare solo imperfettamente. Probabilmente la concezione di Platone deriva da Pitagora e dai suoi seguaci, i pitagorici, che pensavano che il mondo fosse, letteralmente, fatto di numeri. Questa idea può avere origini ancor più antiche che ci sono sostanzialmente sconosciute.
Molti matematici militanti sono realisti per quanto riguarda la matematica, e si vedono come degli scopritori; due esempi famosi sono Paul Erdős e Kurt Gödel. Sono state suggerite motivazioni psicologiche per questa preferenza: sembra molto duro impegnarsi per lunghi periodi in investigazioni sopra entità nella cui esistenza non si crede con una certa fermezza. Gödel credeva in una realtà matematica obiettiva che potrebbe essere percepita in un modo analogo alla percezione dei sensi. Certi principi (ad es., per ogni due oggetti matematici, esiste una collezione di oggetti costituita precisamente da quei due oggetti) potrebbero essere direttamente considerati come veri, ma alcune congetture, come l'ipotesi del continuo, potrebbero dimostrarsi indecidibili proprio sulla base di tali principi. Gödel suggerisce che si potrebbe usare una metodologia quasi empirica per fornire una evidenza sufficiente a renderci capaci di assumere ragionevolmente una tale congettura.
La tesi platonica, nella sua forma standard è quindi una tesi, innanzitutto ontologica. Il realista si impegna ontologicamente sull'esistenza degli enti matematici. Esistono le entità matematiche. Esse generalmente vengono identificate con degli oggetti astratti, ossia a-causali, impercettibili, eterni, etc., analoghi alle idee platoniche. Questa è la tesi metafisica standard. Per quel che riguarda il problema epistemologico, esso è il baluardo da demolire dal platonista, che deve spiegare come può accedere epistemicamente alla conoscenza della matematica. Quindi: "Dove e come precisamente esistono le entità matematiche? Esiste un mondo completamente separato dal nostro mondo fisico che è occupato dalle entità matematiche? Come si può accedere a questo mondo separato e scoprire le verità relative alle entità matematiche?" Le risposte di Gödel e di Platone a ciascuna di queste questioni sono oggetto di molte critiche. Entrambi ricorrono allo strumento dell'intuizione intellettuale, ma questa pare a molti una spiegazione più oscura del problema cui vuole rispondere.